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L'espace étant muni d'un repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j,\vec k)$, calculer les produits scalaires $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$ lorsque :
1.
$A(0;1;2)$, $B(2;0;2)$ et $C(-2;0;1)$;
Corrigé
\begin{align*}
&\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2-0\\0-1\\2-2\end{pmatrix}
\implies \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix};&
\\
&\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-2-0\\0-1\\1-2\end{pmatrix}
\implies
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-2\\-1\\-1\end{pmatrix};&
\\
&\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-2-2\\0-0\\1-2\end{pmatrix}
\implies
\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-4\\0\\-1\end{pmatrix}.&
\end{align*}
Alors :
\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &=&
2(-2) - 1(-1) + 0(-1) = -3\\
\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} &=& -\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}
= -(2(-4)-1\times 0 + 0(-1)) = 8
\end{eqnarray*}
2.
$A(1;0;2)$, $B(0;1;3)$ et $C(-1;2;0)$;
Corrigé
Par un calcul similaire à celui de la question précédente, il vient:
\begin{align*}
&\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix};&
&\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-2\\2\\-2\end{pmatrix};&
&\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-1\\1\\-3\end{pmatrix}.&
\end{align*}
Alors:
\begin{align*}
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &= -1(-2) + 1(2) + 1(-2) = 2;&
\\
\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}
&= -(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC})&
\\
&=-(-1(-1) + 1\times 1 + 1(-3))&
\\
&= 3.&
\end{align*}
3.
$A(8;-3;1)$, $B(-1;4;-2)$ et $C(4;0;1)$.
Corrigé
On calcule au préalable les coordonnées des vecteurs (voir question 1):
\[\overrightarrow{AB}(-9;7;3),\quad \overrightarrow{AC}(-4;3;0)\quad\text{et}\quad
\overrightarrow{BC}(5;-4;3).\]
Alors:
\begin{align*}
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &= -9(-4) + 7\times 3 - 3\times 0&
\\
&= 57;&
\\
\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}
&= -(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC})&
\\
&=-(-9\times 5 - 4 \times 7 - 3\times 3)&
\\
&= 82.&
\end{align*}
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