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L'espace étant rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j,\vec k)$, déterminer toutes les valeurs du réel $k$
pour lesquelles le produit scalaire $\vec u\cdot\vec v$ est nul.
1.
$\vec u\begin{pmatrix}2\\5\\3\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix}k\\2\\k\end{pmatrix}$;
Corrigé
\begin{align*}
\vec u \cdot \vec v &= 0&
\\ \iff
2k+5 \times 2 +3k &= 0&
\\ \iff
5k+10 &= 0&
\\ \iff
k &= -\frac{10} 5.&
\\ \iff
k &= -2.&
\end{align*}
Donc seul $k=-2$ convient.
2.
$\vec u\begin{pmatrix}k\\-2k\\3\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix}k\\2\\1\end{pmatrix}$;
Corrigé
\begin{align*}
\vec u \cdot \vec v &= 0&
\\ \iff
k\times k + (-2k)\times 2 + 3\times 1 &= 0&
\\ \iff
k^2 - 4k + 3 &=0.&
\end{align*}
Cette équation de degré 2 admet 1 pour racine évidente.
Son autre racine est donc $\dfrac 3 {3\times 1} = 3$.
Ici $k$ peut être égal à 1 ou à 3.
3.
$\vec u\begin{pmatrix} k\\-2k\\1\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix}k\\k\\-1\end{pmatrix}$.
Corrigé
\begin{align*}
\vec u\cdot \vec v &= 0&
\\ \iff
k \times k + (-2k)\times k + 1 \times (-1) &=0&
\\ \iff
k^2 - 2k^2 - 1 &=0&
\\ \iff
-k^2 - 1 &= 0&
\\ \iff
-k^2 &= 1&
\\ \iff
k^2 &= -1.&
\end{align*}
Un réel ne pouvant avoir de carré négatif, cette équation est sans solution. Aucune valeur de $k$ ne convient.
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