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On se place dans un repère orthonormé de l'espace.
Calculer $AB$ dans chacun des cas suivants :
1.
$A(5,5\;;\;-6,3\;;\;-4,3)$ et $B(2,5\;;\;2,7\;;\;-0,3)$;
Corrigé
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées:
\[ \begin{pmatrix} 2,5 - 5,5 \\ 2,7 + 6,3 \\ -0,3 + 4,3 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} -3 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}.
\]
Donc :
\[\lVert \overrightarrow{AB}\rVert^2 = \overrightarrow{AB}^2 = (-3)^2 + 9^2 + 4^2 = 106.\]
Et finalement :
\[AB = \sqrt{106}.\]
2.
$A\left(\dfrac 1 4\;;\;-\dfrac 3 2\;;\;\dfrac 5 9\right)$
et
$B\left(\dfrac 3 4\;;\;\dfrac 5 2\;;\;-\dfrac 4 9\right)$.
Corrigé
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées:
\[ \begin{pmatrix} \frac 3 4 - \frac 1 4 \\[2pt] \frac 5 2 + \frac 3 2 \\[2pt] -\frac 4 9 - \frac 5 9\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \frac 1 2 \\[2pt] 4 \\[2pt] 1 \end{pmatrix}.
\]
Donc :
\[\lVert \overrightarrow{AB}\rVert^2 = \overrightarrow{AB}^2 = \left(-\frac 1 2\right)^2 + 4^2 + 1^2
\frac 1 4 + 16 + 1 = \frac{69} 4.\]
Et finalement :
\[AB = \sqrt{\frac{69}4} = \frac{\sqrt{69}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{69}} 2.\]
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