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On se place dans une base orthonormée de l'espace.
Calculer $\lVert \vec u\rVert$ dans chacun des cas suivants.
1.
$\vec u\begin{pmatrix}12\\-9\\15\end{pmatrix}$;
Corrigé
De :
\[\vec u^2 = 12^2 + (-9)^2 + 15^2 = 144 + 9 + 225 = 378\;;\]
on déduit que :
\[\lVert \vec u \rVert = \sqrt{378} = 3\sqrt{42}.\]
2.
$\vec u\begin{pmatrix} \frac 1 4 \\[2pt] \frac 1 2\\[2 pt] 1\end{pmatrix}$;
Corrigé
De :
\[\begin{aligned}
\vec u^2 &= \left(\frac 1 4\right)^2 + \left(\frac 1 2\right)^2 + 1&
\\
&=\frac 1 {16} + \frac 1 4 + 1&
\\
&=\frac 1 {16} + \frac 4 {16} + \frac{16}{16}&
\\
&=\frac{21}{16}\;;&
\end{aligned}\]
on déduit que :
\[\lVert \vec u \rVert = \sqrt{\frac{21}{16}} = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{21}} 4.\]
3.
$\vec u\begin{pmatrix}3\sqrt 2 \\ -5\sqrt 2 \\ 4\sqrt 2\end{pmatrix}$.
Corrigé
De :
\[\begin{aligned}
\vec u^2 &= \left(3\sqrt 2\right)^2 + \left(-5\sqrt 2\right)^2 + \left(4\sqrt 2\right)^2&
\\
&=9\times 2 + 25\times 2 + 16\times 2&
\\
&= 100\;;&
\end{aligned}\]
on déduit que :
\[\lVert \vec u\rVert^2 = \sqrt{100} = 10.\]
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