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Indication
On pourra utiliser les formules de polarisation.
\begin{align*}
\vec u \cdot \vec v &= \frac 1 2 \left(\lVert \vec u + \vec v\rVert^2 - \lVert \vec u\rVert^2 - \lVert \vec v\rVert^2\right)&
\\
\vec u \cdot \vec v &= \frac 1 2 \left(\lVert \vec u\rVert^2 + \lVert \vec v\rVert^2 - \lVert \vec u - \vec v\rVert^2\right)&
\end{align*}
Calculer $\vec u \cdot \vec v$ si :
1.
$\lVert \vec u\rVert = 2$, $\lVert \vec v\rVert = 3$ et $\lVert \vec u + \vec v\rVert = 4$.
Corrigé
\[\begin{aligned}
\vec u \cdot \vec v &= \frac 1 2 \left(\lVert \vec u + \vec v\rVert^2 - \lVert \vec u\rVert^2 - \lVert \vec v\rVert^2\right)&
\\
&=\frac 1 2 (4^2 - 2^2 - 3^2)&
\\
&= \frac 3 2.&
\end{aligned}\]
2.
$\lVert \vec u \rVert = 5$, $\lVert \vec v \rVert = 2$ et $\lVert \vec u - \vec v\rVert = 6$.
Corrigé
\[\begin{aligned}
\vec u \cdot \vec v &= \frac 1 2 \left(\lVert \vec u\rVert^2 + \lVert \vec v\rVert^2 - \lVert \vec u - \vec v\rVert^2\right)&
\\
&=\frac 1 2 (5^2 + 2^2 - 6^2)&
\\
&= -\frac 5 2.&
\end{aligned}\]
3.
$\lVert \vec u + \vec v \rVert = 7$ et $\lVert \vec u - \vec v\rVert = 3$.
Corrigé
Additionnons membre à membre les deux formules de polarisation :
\[\begin{array}{l}
2\vec u \cdot \vec v = \lVert\vec u + \vec v\rVert^2 - \lVert \vec u\rVert^2 - \lVert \vec v\rVert^2
\\
2\vec u \cdot \vec v = \lVert \vec u \rVert^2 + \lVert \vec v \rVert^2 - \lVert \vec u + \vec v\rVert^2
\\ \hline
4\vec u \cdot \vec v = \lVert \vec u + \vec v\rVert^2 - \lVert \vec u - \vec v\rVert^2
\end{array}\]
Donc:
\[\vec u \cdot \vec v = \frac 1 4\left(\lVert \vec u + \vec v\rVert^2 - \lVert \vec u - \vec v\rVert^2\right)
= \frac 1 4 \left(7^2 - 3^2\right) = 10.\]
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