$DAB$ est un triangle équilatéral donc $\widehat{ADB} = 60°$. \[\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB} = DA\times DB \times \cos 60° =\frac 1 2 a^2.\]

Dans le triangle équilatéral $DAB$, la médiane $[DI]$ est aussi une hauteur.
Le triangle $ADI$ est donc rectangle en $I$ et \[\begin{aligned} AI^2 + DI^2 &= AD^2& \\ \implies DI^2 &= AD^2 - AI^2& \\ \implies DI^2 &= a^2 - \left(\frac 1 2 a\right)^2& \\ \implies DI^2 &= a^2 - \frac 1 4 a^2& \\ \implies DI^2&= \frac 3 4 a^2.& \end{aligned}\] On en déduit aussi que le projeté orthogonal de $A$ sur $(DI)$ est $I$.
Finalement \[\begin{aligned} \overrightarrow{AK}\cdot\overrightarrow{DI} &= -\frac 1 2\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DI}& \\ &=-\frac 1 2 \overrightarrow{DI}\cdot\overrightarrow{DI}& \\ &=-\frac 1 2 DI^2& \\ &=-\frac 1 2 \times \frac 3 4 a^2& \\ &=-\frac 3 8 a^2.& \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \overrightarrow{IK}\cdot\overrightarrow{AC} &=(\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CK})\cdot\overrightarrow{AC}& \\ &=\overrightarrow{IC}\cdot\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CK}\cdot\overrightarrow{AC}& \\ &=(-\overrightarrow{CI})\cdot(-\overrightarrow{CA}) + \overrightarrow{CK}\cdot(-\overrightarrow{AC})& \\ &=\overrightarrow{CI}\cdot\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CK}\overrightarrow{CA}& \end{aligned}\] $A$ se projette orthogonalement sur $(CI)$ en $I$ et sur $(CK)$ en $K$. Donc : \[\begin{aligned} \overrightarrow{IK}\cdot\overrightarrow{AC} &=\overrightarrow{CI}\cdot\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CK}\overrightarrow{CA}& \\ &=CI^2 - CK^2& \\ &=0.& \end{aligned}\] (Car $CI = CK$.)

\[\begin{aligned} \overrightarrow{JK}\cdot\overrightarrow{AD} &=(\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{CK})\cdot\overrightarrow{AD}& \\ &=\overrightarrow{JC}\cdot\overrightarrow{AD} + \underbrace{\overrightarrow{CK}\cdot\overrightarrow{AD}}_{\overrightarrow{CK}\perp\overrightarrow{AD}}& \\ &=\overrightarrow{JC}\cdot\overrightarrow{AD} + 0& \\ &=\overrightarrow{JC}\cdot(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD})& \\ &=\overrightarrow{JC}\cdot\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{JC}\cdot\overrightarrow{BD}& \\ &=\frac 1 2\overrightarrow{BC}\cdot(-\overrightarrow{BA}) + \frac 1 2 \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BD}& \\ &=-\frac 1 2 \times \frac 1 2 a^2 + \frac 1 2 \times \frac 1 2 a^2& \\ &=0.& \end{aligned}\]