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Les points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et $F$ sont régulièrement espacés sur la droite ci-dessous.

Déterminer les nombres réels $a$, $b$, $c$ et $d$, $e$ et $f$ tels que :

1. $\overrightarrow{DA} = a\overrightarrow{DE}$ Corrigé
   Le vecteur $\overrightarrow{DA}$ est trois fois plus long mais de sens contraire à $\overrightarrow{DE}$.
   On a donc $\overrightarrow{DA} = -3\overrightarrow{DE}$.
   Donc $a = -3$.
2. $\overrightarrow{BD} = b\overrightarrow{DE}$ Corrigé
   Le vecteur $\overrightarrow{BD}$ est deux fois plus long que le vecteur $\overrightarrow{DE}$ et ils ont le même sens donc: \[\overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{DE}.\] Donc $b = 2$.
3. $\overrightarrow{DC} = c\overrightarrow{DE}$ Corrigé
   Les vecteurs $\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{DE}$ ont la même longueur mais pas le même sens. Ils sont donc opposés: \[\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{DE}.\] Donc $c=-1$.
4. $\overrightarrow{DF}=d\overrightarrow{DE}$ Corrigé
   Le vecteur $\overrightarrow{DF}$ est deux fois plus long que le vecteur $\overrightarrow{DE}$ et ils ont le même sens. Donc: \[\overrightarrow{DF}=2\overrightarrow{DE}.\] Donc $d = 2$.
5. $\overrightarrow{AD} = e\overrightarrow{AF}$ Corrigé
   Le vecteur $\overrightarrow{AD}$ a pour longueur (norme) 3 unités tandis que le vecteur $\overrightarrow{AF}$ a pour norme 5 unités. Il sont de même sens, donc \[\overrightarrow{AD} = \frac 3 5 \overrightarrow{AF}.\] Donc $e=\dfrac 3 5$.
6. $\overrightarrow{AF} = f\overrightarrow{AD}$. Corrigé
   D'après la question précédente : \[\overrightarrow{AD} = \frac 3 5 \overrightarrow{AF} \implies \overrightarrow{AF} = \frac 5 3 \overrightarrow{AD}.\] Donc $f= \dfrac 5 3$.

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code : 607