EX-1.02

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1. Soit $X$ la variable aléatoire dont la loi est donnée ci-dessous. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(X=x_i) & 0,15 & 0,25 & 0,15 & p & 0,35 \\ \hline \end{array}\]

a. Déterminer la valeur de $p$.
Corrigé

\[\begin{aligned} 0,15 + 0,25 + 0,15 + p + 0,35 &= 1& \\ \implies 0,9+p&=1& \\ \implies p &= 1 - 0,9& \\ \implies p&= 0,1.& \end{aligned}\]

b. Calculer $P(X \leqslant 2)$.
Corrigé

\[\begin{aligned} P(X\leqslant 2) &= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)& \\ &=0,15 + 0,25 + 0,15& \\ &= 0,55.& \end{aligned}\]

c. Calculer $P(X > 2)$.
Corrigé

\[P(X > 2) = 1 - P(X\leqslant 2) = 1 - 0,55 = 0,45.\]

2. Soit $Y$ la variable aléatoire dont la loi est donnée ci-dessous. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline y_i & 1 & 5 & 7 & 9 \\ \hline P(Y=y_i) & 0,2 & 0,1 & 0,4 & 0,3 \\ \hline \end{array}\]

a. Calculer l'espérance $\operatorname E(X)$ de $X$.
Corrigé

Espérance de $X$: \[\begin{aligned} \operatorname E(X) &=0,2\times 1 + 0,1\times 5 + 0,4\times 7 + 0,3\times 9& \\ &=0,2 + 0,5 + 2,8 + 2,7& \\ &= 6,2.& \end{aligned}\]

b. Calculer l'écart type $\sigma$ de $X$ (arrondir à 10−2).
Corrigé

Variance de $X$: \[\begin{aligned} \operatorname V(X) &=0,2\times (1 - 6,2)^2 + 0,1 \times (5 - 6,2)^2& \\ &\qquad+0,4\times (7 - 6,2)^2 + 0,3\times (9 - 6,2)^2& \\ &= 8,16.& \end{aligned}\] Donc l'écart type de $X$ est \[\sigma = \sqrt{\operatorname V(X)} \approx 2,86.\]

3. Soient, dans un espace probabilisé, deux événements $A$ et $B$ dont les probabilités sont définies par l'arbre suivant.

arbre de probabilités

a. Lire ou calculer $P(A)$, $P_A(B)$ et $P(A\cap B)$.
Corrigé

On lit $P(A) = 0,8$ et $P_A(B) = 0,7$. Alors: \[P(A\cap B) = 0,8 \times 0,7 = 0,56.\]

b. Calculer $P(B)$.
Corrigé

\[\begin{aligned} P(B) &= P(A\cap B) + P(\overline A \cap B)& \\ &=0,56 + 0,6 \times 0,1& \\ &= 0,62.& \end{aligned}\]

c. En déduire $P_B(A)$ (arrondir la réponse à 10−3).
Corrigé

\[P_B(A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0,56}{0,62} \approx 0,903.\]

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