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QCM. Donner la seule réponse exacte parmi les trois proposées.
1.
Soit $x$ un nombre réel strictement positif. On a $\ln(x + 1)- \ln(x) =\text{?}$ :
a.
$\ln\left(1 + \dfrac 1 x\right)$;
b.
$\dfrac{\ln(x+1)}{\ln(x)}$;
c.
0.
Corrigé
Réponse a.
En effet :
\begin{align*}
\ln(x+1) - \ln(x) &= \ln\left(\frac{x+1}{x}\right)&
\\
&=\ln\left(\frac x x + \frac 1 x\right)&
\\
&=\ln\left(1+\frac 1 x\right).&
\end{align*}
2.
Pour tout nombre réel $x$,
$\ln\left(\dfrac{\mathrm e^x} 2\right) - \ln\left(\mathrm e^{x- 3}\right)=\text{?}$:
a.
$-3 - \ln(2)$;
b.
$3- \ln(2)$;
c.
$-3 + \ln(2)$.
Corrigé
Réponse b.
En effet :
\begin{align*}
&\ln\left(\frac{\mathrm e^x}2\right)-\ln\left(\mathrm e^{x-3}\right)&
\\
=&\ln\left(\mathrm e^x\right)-\ln(2) -(x-3)&
\\
=&x - \ln(2) -x + 3&
\\
=&3 - \ln(2).&
\end{align*}
3.
La suite, définie pour tout entier naturel $n$, par
$u_n =\ln\left(5\times 3^n\right)$ est une suite :
a.
géométrique de raison ln(3) et de premier terme \ln(5) ;
b.
arithmétique de raison ln(3) et de premier terme \ln(5) ;
c.
arithmétique de raison ln(3) et de premier terme 0.
Corrigé
Réponse b.
En effet, d'une part :
\[u_0 = \ln(5\times 3^0) = \ln(5\times 1) = \ln(5).\]
Et d'autre part, pour tout $n\in\mathbb N$ :
\begin{align*}
u_{n+1} &= \ln(5\times 3^{n+1})&
\\
&=\ln(5\times 3^n \times 3)&
\\
&=\ln(5\times 3^n) + \ln(3)&
\\
&=u_n + \ln(3).&
\end{align*}
Donc $(u_n)$ est arithmétique de raison ln(3) et de premier terme $u_0 = \ln(5)$.
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