-
$\mathrm e^x = 1$;
Corrigé
D'après le cours
\[e^x = 1 \iff x = 0\]
Donc $S = \{0\}$.
-
$\mathrm e^{x^2 + 1} = 0$;
Corrigé
Aucune exponentielle ne peut être nulle :
\[S = \emptyset.\]
-
$\mathrm e^{3x - 2} = \mathrm e$;
Corrigé
\[\begin{aligned}
&\mathrm e^{3x-2} = \mathrm e&\\
\iff
&3x - 2 = 1&\\
\iff
&3x = 3&\\
\iff
&x = 1.&
\end{aligned}\]
Donc $S = \{1\}$.
-
$\mathrm e^{x} \ge 1$;
Corrigé
\[ \mathrm e^x \ge 1 \iff x \ge 0.\]
Donc $S = [0\;;\;+\infty[$.
-
$\mathrm e^{x^2} < \mathrm e$;
Corrigé
\[\mathrm e^{x^2} < \mathrm e
\iff x^2 < 1
\iff x^2 - 1 < 0.\]
Le polynôme $x^2 - 1$ a pour racines évidentes $-1$ et $1$,
son coefficient principal est positif,
donc il est négatif à l'intérieur de ses racines.
$S = ]-1\;;\;1[$.
-
$\mathrm e^{5x} \ge \dfrac 1 {\mathrm e}$.
Corrigé
\[\begin{aligned}
\mathrm e^{5x} &\ge \frac 1 {\mathrm e}&
\\ \iff
\mathrm e^{5x} &\ge \mathrm e^{-1}&
\\ \iff
5x &\ge - 1&
\\ \iff
x &\ge -\frac 1 5.&
\end{aligned}\]
Donc $S = \left[-\dfrac 1 5\;;\;+\infty\right[$.