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Donner un encadrement de
\[J_n = \int_0^1 \ln(1+x^n)\mathrm dx.\]
où $n$ est un entier naturel quelconque.
Corrigé
Puisque $x\in[0;1]$, pour tout entier naturel $n$, $x^n \in[0;1]$.
\begin{align*}
0 &\leqslant x^n \leqslant 1&
\\ \implies
1 &\leqslant 1+x^n \leqslant 2&
\end{align*}
La fonction $x\mapsto \ln(x)$ étant strictement croissante:
\begin{align*}
1 &\leqslant 1+x^n \leqslant 2&
\\ \implies
\ln(1) &\leqslant \ln(1+x^n) \leqslant \ln(2)&
\\ \implies
\int_0^1 0\mathrm dx &\leqslant \int_0^1 \ln(1+x^n)\mathrm dx \leqslant \int_0^1 \ln(2)\mathrm dx&
\\ \implies
0 &\leqslant J_n \leqslant \ln(2).&
\end{align*}
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