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Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies et continues sur $[-5;2]$.
On sait que pour tout $x\in[-5;2]$,
\[-1\le f \le 2\quad\text{et}\quad 2\le g \le 5.\]
-
Déterminer un encadrement de $f+g$ sur $[-5;2]$.
Corrigé
Si $-1\le f \le 2$ et $2\le g \le 5$ alors:
\[-1+2 \le f+g \le 2 + 5 \implies 1 \le f+g \le 7.\]
-
En déduire un encadrement de
\[\displaystyle\int_{-5}^2\left(f(x)+g(x)\right)\:\mathrm dx.\]
Corrigé
Pour tout $x$ de $[-5;2]$:
\[\begin{aligned}
&1 \le f(x)+g(x) \le 7&
\\ \implies
&\int_{-5}^2 1\:\mathrm dx \le \int_{-5}^2\left(f(x)+g(x)\right)\mathrm dx \le \int_{-5}^2 7\:\mathrm dx&
\\ \implies
&\left[x\right]_{-5}^2 \le \int_{-5}^2\left(f(x)+g(x)\right)\mathrm dx \le \left[7x\right]_{-5}^2&
\\ \implies
&{\small 2 - (-5) \le \int_{-5}^2\left(f(x)+g(x)\right)\mathrm dx \le 7\times 2 - 7\times(-5)}&
\\ \implies
&7 \le \int_{-5}^2\left(f(x)+g(x)\right)\mathrm dx \le 49&
\end{aligned}\]
-
Déterminer un encadrement de $2f-3g$ sur $[-5;2]$.
Corrigé
De
\[-2\le 2f \le 4\]
et
\[-15 \le -3g \le -6\]
on déduit que
\[-2-15 \le 2f - 3g \le 4 - 6 \implies -17 \le 2f-3g \le -2.\]
-
En déduire un encadrement de
\[\displaystyle\int_{-5}^2\left(2f(x) - 3g(x)\right)\:\mathrm dx.\]
Corrigé
Pour tout $x$ de $[-5;2]$:
\[\begin{aligned}
&-17 \le 2f(x) - 3g(x) \le -2&
\\ \implies
&\int_{-5}^2 -17\mathrm dx \le \int_{-5}^2\left(2f(x)-3g(x)\right)\mathrm dx \le \int_{-5}^2 -2\mathrm dx&
\\ \implies
&\left[-17x\right]_{-5}^2 \le \int_{-5}^2\left(2f(x)-3g(x)\right)\mathrm dx \le \left[-2x\right]_{-5}^2&
\\ \implies
&-17\times 2 - (-17)\times(-5)&
\\
&\quad\quad\le \int_{-5}^2\left(2f(x)-3g(x)\right)\mathrm dx&
\\
&\quad\quad\quad\quad\le -2\times 2 - (-2)\times (-5)&
\\ \implies
&-119 \le \int_{-5}^2\left(2f(x)-3g(x)\right)\mathrm dx \le -14&
\end{aligned}\]
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