Notons que \[I_1 = \frac 1{1!}\int_0^1 (1-x)^1\mathrm e^x\mathrm dx = \int_0^1(1-x)\mathrm e^x\mathrm dx.\] Procédons à une intégration par parties avec: \[\begin{aligned} u(x)&=1-x\;;&\qquad u'(x)&=-1\;;& \\ v'(x)&=\mathrm e^x\;;&\qquad v(x)&=\mathrm e^x.& \end{aligned}\] On a donc \[\begin{aligned} I_1 &=\int_0^1 u(x)v'(x)\mathrm dx& \\ &=\big[u(x)v(x)\big]_0^1 - \int_0^1 u'(x)v(x)\mathrm dx& \\ &=\big[(1-x)\mathrm e^x\big]_0^1 - \int_0^1 (-1)\mathrm e^{x}\mathrm dx& \\ &=(1-1)\mathrm e^1 - (1-0)\mathrm e^0 + \int_0^1\mathrm e^x\mathrm dx& \\ &=-1 + \big[\mathrm e^x\big]_0^1& \\ &=-1 + \mathrm e^1 - \mathrm e^0& \\ &=\mathrm e - 2.& \end{aligned}\]

Posons \[\begin{aligned} u(x)&=(1-x)^n\;;& \\ u'(x)&=n(-1)(1-x)^{n-1} = -n(1-x)^{n-1}\;;& \\ v'(x)&=\mathrm e^x\;;&\\ v(x)&=\mathrm e^x.& \end{aligned}\] Alors : \[\begin{aligned} \int_0^1 (1-x)^n\mathrm e^x \mathrm dx &=\int_0^1 u(x)v'(x)\mathrm dx& \\ &=\big[u(x)v(x)\big]_0^1 - \int_0^1 u'(x)v(x)\mathrm dx& \\ &=\big[(1-x)^n\mathrm e^x\big]_0^1 + n\int_0^1 (1-x)^{n-1}\mathrm e^x\mathrm dx& \\ &=0\mathrm e^1 - 1\mathrm e^0 + n\int_0^1 (1-x)^{n-1}\mathrm e^x\mathrm dx& \\ &=-1+n\int_0^1 (1-x)^{n-1}\mathrm e^x\mathrm dx& \end{aligned}\] Donc : \[\begin{aligned} I_n &=\frac 1 {n!}\int_0^1(1-x)^n\mathrm e^{x}\mathrm dx& \\ &=\frac 1 {n!}\left(-1+n\int_0^1(1-x)^{n-1}\mathrm e^x\mathrm dx\right)& \\ &=-\frac 1 {n!} + \frac{n}{n!}\int_0^1(1-x)^{n-1}\mathrm e^x\mathrm dx& \\ &=-\frac 1 {n!} + \frac1{(n-1)!}\int_0^1(1-x)^{n-1}\mathrm e^x\mathrm dx& \\ &=\boxed{-\frac 1{n!}+I_{n-1}}.& \end{aligned}\] Soit l'assertion \[\mathcal A(n)\ :\ \text{«}\quad I_n = \mathrm e - \sum_{k=0}^n \frac 1{k!}.\quad\text{»}\] Cette assertion est vérifiée au rang 1, car \[I_1 = \mathrm e - 2 = \mathrm e - (1+1) = \mathrm e - \left(\frac 1 {0!}+\frac1{1!}\right).\] Supposons que pour un rang $n$ donné, $\mathcal A(n)$ soit vraie. Alors \[\begin{aligned} I_{n+1} &= -\frac 1 {(n+1)!} + I_n& \\ &=-\frac 1 {(n+1)} + \mathrm e - \left(\frac 1{0!}+\cdots+\frac1{n!}\right)& \\ &=\mathrm e - \left(\frac1{0!}+\cdots+\frac1{n!}+\frac1{(n+1)!}\right)& \\ &=\mathrm e - \sum_{k=0}^{n+1} \frac 1 {k!}.& \end{aligned}\] Donc $\mathcal A(n)$ est héréditaire.
Par récurrence, $\mathcal A(n)$ est donc vérifiée pour tout entier naturel non nul $n$.

Pour $x\in[0;1]$ : \[\begin{aligned} &0\leqslant x \leqslant 1& \\ \implies &-1 \leqslant -x \leqslant 0& \\ \implies &0 \leqslant 1-x \leqslant 1& \\ \implies &0 \leqslant (1-x)^n \leqslant 1.& \end{aligned}\] Donc, pour $x\in[0;1]$ : \[(1-x)^n\mathrm e^x \leqslant \mathrm e^x\] En intégrant cette inégalité : \[\begin{aligned} &0 \leqslant \int_0^1 (1-x)^n\mathrm e^x\mathrm dx \leqslant \int_0^1\mathrm e^x\mathrm dx & \\ \implies &0 \leqslant \int_0^1 (1-x)^n\mathrm e^x\mathrm dx \leqslant \mathrm e^1 - \mathrm e^0& \\ \implies &0 \leqslant \int_0^1 (1-x)^n\mathrm e^x\mathrm dx \leqslant \mathrm e - 1& \\ \implies &0 \leqslant \frac 1 {n!}\int_0^1 (1-x)^n\mathrm e^x\mathrm dx \leqslant \frac{\mathrm e^1 - 1}{n!}& \\ \implies &0 \leqslant I_n \leqslant \frac{\mathrm e-1}{n!}.& \end{aligned}\] Or : \[\lim_{n\to+\infty} n!=+\infty \implies \lim_{n\to+\infty} \frac{\mathrm e - 1}{n!} = 0.\] Encadrée par deux suites tendant vers 0, la suite $(I_n)$ converge elle aussi vers $0$. Finalement : \[\lim_{n\to+\infty} \mathrm e - \sum_{k=0}^n \frac 1{k!} = 0 \implies \lim_{n\to+\infty} \sum_{k=0}^n \frac 1{k!} = \mathrm e.\]