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On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0;1] par :
\[f(x) = \dfrac{1}{1 + \mathrm{e}^{1 - x}}.\]
Partie A
1.
Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0;1].
Corrigé
Pour tout $x\in[0;1]$,
\[f'(x) = -\frac{-\mathrm e^{1-x}}{\left(1+\mathrm e^{1-x}\right)^2}
=\frac{\mathrm e^{1-x}}{\left(1+\mathrm e^{1-x}\right)^2}.
\]
Le numérateur et le dénominateur étant strictement positifs, $f'(x) > 0$ pour tout $x\in[0;1]$,
ce qui montre que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$.
2.
Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0;1],
\[f(x) = \dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}}.\]
Corrigé
Pour tout $x\in[0;1]$:
\[\frac 1 {1+\mathrm e^{1-x}} = \frac{1\times \mathrm e^x}{\left(1+\mathrm e^{1-x}\right)\times \mathrm e^x}
=\frac{\mathrm e^x}{\mathrm e^x + \mathrm e^{1-x+x}}
=\frac{\mathrm e^x}{\mathrm e^x + \mathrm e}.
\]
3.
Montrer alors que
\[\displaystyle\int_0^1 f(x)\:\mathrm{d}x = \ln (2) + 1 - \ln (1 + \mathrm{e}).\]
Corrigé
On remarque que $f=\frac{u'}{u}$ avec
\[u(x) = \mathrm e^x + \mathrm e\]
et donc
\[u'(x)=\mathrm e^x.\]
Alors une primitive $F$ de $f$ sur $[0;1]$ est donnée par
\[F(x) = \ln(\mathrm e^x + \mathrm e).\]
On a donc :
\[\begin{aligned}
\int_0^1 f(x)\:\mathrm dx
&=F(1) - F(0)&
\\
&=\ln(\mathrm e^1 + \mathrm e) - \ln(\mathrm e^0 + \mathrm e)&
\\
&=\ln(2\mathrm e) - \ln(1+\mathrm e)&
\\
&=\ln 2 + \ln \mathrm e - \ln(1+\mathrm e)&
\\
&=\ln 2 + 1 - \ln(1+\mathrm e).&
\end{aligned}\]
Partie B
Soit $n$ un entier naturel. On considère les fonctions $f_n$ définies sur [0;1] par :
\[f_n(x) = \dfrac{1}{1 + n\mathrm{e}^{1 - x}}.\]
On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans le plan muni d'un repère orthonormé.
On considère la suite de terme général
\[u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\:\mathrm{d}x.\]
On a tracé ci-dessous les courbes représentatives des fonctions $f_n$ pour $n$ variant de 1 à 5.
1.
Soit $n$ un entier naturel, interpréter graphiquement $u_n$ et préciser la valeur de $u_0$.
Corrigé
$u_n$ représente l'aire du domaine plan délimité d'une part par $\mathscr C_n$
et l'axe des abscisses, d'autre part par les droites d'équations respectives $x=0$ et $x=1$.
2.
Quelle conjecture peut-on émettre quant au sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$?
Démontrer cette conjecture.
Conjecture
Démo 1
Démo 2
Puisque plus $n$ est grand, plus $\mathscr C_n$ est proche de l'axe des abscisses,
on peut supposer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
Pour tout $x\in[0;1]$, $\mathrm e^{1-x} > 0$. Donc :
\[\begin{aligned}
0 \le &n < n+1&\\
\implies 0 \le &n\mathrm e^{1-x} < (n+1)\mathrm e^{1-x}&\\
\implies 0 < &1+n\mathrm e^{1-x} < 1+(n+1)\mathrm e^{1-x}&\\
\implies \frac{1}{1+n\mathrm e^{1-x}} > &\frac 1 {1+(n+1)\mathrm e^{1-x}} > 0&\\
\implies \int_0^1 \frac{1}{1+n\mathrm e^{1-x}}\mathrm dx >&\int_0^1 \frac{1}{1+(n+1)\mathrm e^{1-x}}\mathrm dx > 0&\\
\implies u_{n} > &u_{n+1} > 0&
\end{aligned}\]
Ceci prouve que la suite $(u_n)$ est bien décroissante.
Pour tout $n\in\mathbb N$:
\[\begin{aligned}
u_{n+1} - u_n
&=\int_0^1 \frac 1 {1+(n+1)\mathrm e^{1-x}}\mathrm dx - \int_0^1 \frac 1 {1+n\mathrm e^{1-x}}\mathrm dx&
\\
&=\int_0^1 \left(\frac 1 {1+(n+1)\mathrm e^{1-x}} - \frac 1{1+n\mathrm e^{1-x}}\right)\mathrm dx&
\\
&=\int_0^1\frac{1 + n\mathrm e^{1-x} - 1- -(n+1)\mathrm e^{1-x}}{(1+(n+1)\mathrm e^{1-x})(1+n\mathrm e^{1-x})}\mathrm dx&
\\
&=\int_0^1 -\frac{\mathrm e^{1-x}}{(1+(n+1)\mathrm e^{1-x})(1+n\mathrm e^{1-x})}\mathrm dx.&
\end{aligned}\]
C'est l'intégrale d'une fonction négative, prise entre des bornes croissantes,
donc elle est négative.
Puisque pour tout $n\in\mathbb N$ $u_{n+1} - u_n \leqslant 0$, la suite $(u_n)$ est décroissante.
3.
La suite $\left(u_n\right)$ admet-elle une limite ?
Corrigé
Les $f_n$ sont des fonctions positives, donc leurs intégrales sur $[0;1]$ le sont aussi.
La suite $(u_n)$ est donc minorée par 0. De plus, on sait qu'elle est décroissante.
Donc la suite $(u_n)$ converge vers une limite réelle (encore inconnue à ce stade).
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