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On considère la suite $(S_n)$ définie par :
\[\forall n\in\mathbb N^*,\quad S_n = 1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n.\]
1.
Soit $k$ un entier naturel non nul. Justifier que
\[\frac 1 {k+1} \leqslant \int_k^{k+1} \frac 1 x \mathrm dx \leqslant \frac 1 k.\]
Corrigé
Si $x\in[k\;;\;k+1]$ alors :
\begin{align*}
&0 < k \leqslant x \leqslant k + 1&
\\ \implies
&\frac 1 {k+1} \leqslant \frac 1 x \leqslant \frac 1 k&
\\ \implies
&\int_k^{k+1} \frac 1 {k+1}\mathrm dx \leqslant \int_k^{k+1} \frac 1 x \mathrm dx
\leqslant \int_k^{k+1} \frac 1 k\mathrm dx&
\\ \implies
&{\small \frac 1 {k+1} \times (k+1-k) \leqslant \int_k^{k+1}\frac 1 x\mathrm dx \leqslant \frac 1 k \times (k+1-k)}&
\\
&\frac 1 {k+1} \leqslant \int_k^{k+1} \frac 1 x\mathrm dx \leqslant \frac 1 k.&
\end{align*}
2.
Montrer que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 $n$,
\[
\frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n
\leqslant
\int_1^n \frac 1 x\mathrm dx
\leqslant
1 + \frac 1 2 + \cdots + \frac 1 {n-1}
\]
Corrigé
Pour $k=1$ l'encadrement précédent s'écrit
\[
\frac 1 {1+1} \leqslant \int_1^2 \frac 1 x\mathrm dx \leqslant \frac 1 1
\implies
\frac 1 2 \leqslant \int_1^2 \frac 1 x \mathrm dx \leqslant 1
\]
Pour $k=2$, il s'écrit
\[
\frac 1 {2+1} \leqslant \int_2^3 \frac 1 x \mathrm dx \leqslant \frac 1 2
\implies
\frac 1 3 \leqslant \int_2^3 \frac 1 x \mathrm dx \leqslant \frac 1 2
\]
Et ainsi de suite, jusqu'à $k = n-1$ :
\begin{flalign*}
&\frac 1 {n-1+1} \leqslant \int_{n-1}^n \frac 1 x \mathrm dx \leqslant \frac 1 {n-1}&
\\ \implies
&\frac 1 {n} \leqslant \int_{n-1}^n \frac 1 x \mathrm dx \leqslant \frac 1 {n-1}.&
\end{flalign*}
En additionnant membre à membre tous ces encadrements, on obtient :
A gauche :
\[\frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n\]
Au centre :
\[
\int_1^2\frac 1 x\mathrm dx + \int_2^3\frac 1 x\mathrm dx + \cdots + \int_{n-1}^n \frac 1 x \mathrm dx
=\int_1^n \frac 1 x\mathrm dx.
\]
A droite :
\[1 + \frac 1 2 + \cdots + \frac 1 {n-1}.\]
On a donc bien
\[
\frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n
\leqslant
\int_1^n \frac 1 x\mathrm dx
\leqslant
1 + \frac 1 2 + \cdots + \frac 1 {n-1}
\]
3.
En déduire que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 $n$
\[\ln(n) + \frac 1 n \leqslant S_n \leqslant \ln(n) + 1.\]
Corrigé
D'une part
\begin{align*}
&\frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n \leqslant \int_1^n\frac 1 x\mathrm dx&
\\ \implies
&S_n - 1 \leqslant \ln(n) - \ln(1)&
\\ \implies
&S_n \leqslant \ln(n) + 1.&
\end{align*}
D'autre part
\begin{align*}
&\int_1^n \frac 1 x\mathrm dx \leqslant 1 + \frac 1 2 + \cdots + \frac 1 {n-1}&
\\ \implies
&\ln(n) - \ln(1) \leqslant S_n - \frac 1 n&
\\ \implies
&\ln(n) + \frac 1 n \leqslant S_n.&
\end{align*}
On a donc finalement bien
\[\ln(n) + \frac 1 n \leqslant S_n \leqslant \ln(n) + 1.\]
4.
En déduire un encadrement de $S_{1000}$.
Corrigé
On déduit de la relation précédente que :
\[\ln(1000) + \frac 1 {1000} \leqslant S_n \leqslant \ln(1000) + 1\]
Sachant que $\ln(1000) + \frac 1 {1000} \approx 6,90876$ et $\ln(1000) + 1 \approx 7,90776$ on en déduit que
\[6,908 \leqslant S_{1000} \leqslant 7,908.\]
5.
Donner la limite de la suite $(S_n)$.
Corrigé
Puisque $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \ln(n) = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \frac 1 n = 0$,
on a
\[\lim_{n\to+\infty} \ln(n) + \frac 1 {1000} = +\infty.\]
Or, pour tout $n\geqslant 2$ :
\[S_n \geqslant \ln(n)+\frac 1 {1000}.\]
La suite $(S_n)$ diverge donc vers $+\infty$.
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