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On considère la suite $(I_n)$ définie par
\[\forall n\in\mathbb N,\quad I_n = \int_0^{\frac 1 2} \frac {x^n}{1-x}\mathrm dx.\]
1.
Montrer que $I_0 = \ln(2)$.
Corrigé
\[I_0 = \int_0^{\frac 1 2} \frac{x^0}{1-x}\mathrm dx = \int_0^{\frac 1 2} \frac{1}{1-x}\mathrm dx.\]
Or
\[\frac 1 {1-x} = -\frac{-1}{1-x} = -\frac{u'(x)}{u(x)}.\]
si l'on pose $u(x) = 1-x$.
Sur $\left[0;\frac 1 2\right]$, $u$ est strictement positive donc la fonction
\[x\mapsto \frac 1 {1-x}\]
admet pour primitive sur cet intervalle
\[x \mapsto -\ln\left[u(x)\right] = -\ln(1-x).\]
Donc
\begin{align*}
I_0 &= \big[-\ln(1-x)\big]_0^{\frac 1 2}&
\\
&= -\ln\left(1 - \frac 1 2\right) + \ln(1-0)&
\\
&=-\ln\left(\frac 1 2\right)&
\\
&=\ln(2).&
\end{align*}
2.a.
Calculer $I_1 - I_0$.
Corrigé
\begin{align*}
I_1 - I_0
&=\int_0^{\frac 1 2} \frac{x}{1-x}\mathrm dx - \int_0^{\frac 1 2} \frac 1 {1-x}\mathrm dx&
\\
&=\int_0^{\frac 1 2}\left(\frac{x}{1-x} - \frac 1 {1-x}\right)\mathrm dx&
\\
&=\int_0^{\frac 1 2} \frac{x - 1}{1-x}\mathrm dx&
\\
&=\int_0^{\frac 1 2} (-1)\mathrm dx&
\\
&=-\frac 1 2.&
\end{align*}
2.b.
En déduire $I_1$.
Corrigé
\[I_1 - I_0 = -\frac 1 2
\implies
I_1 = I_0 - \frac 1 2 = \ln(2) - \frac 1 2.\]
3.a.
Montrer que
\[\forall n\in\mathbb N,\quad I_n - I_{n+1} = \frac{\left(\frac 1 2\right)^{n+1}}{n+1}.\]
Corrigé
Pour tout entier naturel $n$
\begin{align*}
I_n - I_{n+1}
&=\int_0^{\frac 1 2} \frac{x^n}{1-x}\mathrm dx - \int_0^{\frac 1 2} \frac{x^{n+1}}{1-x}\mathrm dx&
\\
&=\int_0^{\frac 1 2} \left(\frac{x^n}{1-x} - \frac{x^{n+1}}{1-x}\right)\mathrm dx&
\\
&=\int_0^{\frac 1 2} \frac{x^n - x^{n+1}}{1-x}\mathrm dx&
\\
&=\int_0^{\frac 1 2}x^n\cdot\frac{1-x}{1-x}\mathrm dx&
\\
&=\int_0^{\frac 1 2}x^n\mathrm dx&
\\
&=\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^{\frac 1 2}&
\\
&=\frac{\left(\frac 1 2\right)^{n+1}}{n+1} - \frac{0^{n+1}}{n+1}&
\\
&=\frac{\left(\frac 1 2\right)^{n+1}}{n+1}.&
\end{align*}
3.b.
Proposer une fonction python I(n) qui calcule, pour $n$ donné, la valeur de $I_n$.
Corrigé
La suite $(I_n)$ est définie par $I_0 = \ln(2)$ et
\[\forall n\in\mathbb N,\quad I_{n+1} = I_n - \frac{\left(\frac 1 2\right)^{n+1}}{n+1}.\]
On peut donc proposer la fonction python suivante.
from math import log
# En python, log designe le logarithme neperien
def I(n):
I = log(2)
for i in range(n):
I = I - 0.5**(i+1)/(i+1)
return I
4
Soit $n$ un entier naturel non nul.
a.
Montrer que
\[x\in\left[0;\frac 1 2\right] \implies 0 \leqslant \frac{x^n}{1-x} \leqslant \frac 1 {2^{n-1}}.\]
Corrigé
Pour $x\in\left[0;\frac 1 2\right]$
\begin{align*}
&0 \leqslant x \leqslant \frac 1 2&
\\ \implies
&-\frac 1 2 \leqslant -x \leqslant 0&
\\ \implies
&\frac 1 2 \leqslant 1 - x \leqslant 1&
\\ \implies
&1 \leqslant \frac 1 {1-x} \leqslant 2.&
\end{align*}
D'autre part
\[0 \leqslant x \leqslant \frac 1 2 \implies 0 \leqslant x^n \leqslant \left(\frac 1 2\right)^n.\]
Ces deux encadrements ne faisant intervenir que des réels positifs, on peut les multiplier entre eux
\begin{align*}
&0 \times 1 \leqslant \frac 1{1-x} \times x^n \leqslant 2 \times \left(\frac 1 2\right)^n&
\\ \implies
&0 \leqslant \frac{x^n}{1-x} \leqslant \frac 2 {2^n}&
\\ \implies
&0 \leqslant \frac{x^n}{1-x} \leqslant \frac 1 {2^{n-1}}.&
\end{align*}
b.
Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul
\[0 \leqslant I_n \leqslant \frac 1 {2^n}.\]
Corrigé
On "intègre" l'encadrement précédent.
\begin{align*}
&0 \leqslant \frac{x^n}{1-x} \leqslant \frac 1 {2^{n-1}}.&
\\ \implies
&\int_0^{\frac 1 2} 0\mathrm dx \leqslant \int_0^{\frac 1 2}\frac{x^n}{1-x}\mathrm dx
\leqslant \int_0^{\frac 1 2}\frac 1 {2^{n-1}}\mathrm dx&
\\ \implies
&0 \leqslant I_n \leqslant \frac 1 2 \times \frac 1 {2^{n-1}}&
\\ \implies
&0 \leqslant I_n \leqslant \frac 1 {2^n}.&
\end{align*}
c.
En déduire la limite de la suite $(I_n)$.
Corrigé
La suite $(I_n)$ est donc encadrée par les suites $(0)$ et $\left(\frac 1 {2^n}\right)$ qui tendent toutes deux vers $0$.
La suite $(I_n)$ converge donc elle aussi vers $0$.
5.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose
\[S_n = \sum_{i=1}^n \frac{\left(\frac 1 2\right)^i}{i} = \frac 1 2 + \frac{\left(\frac 1 2\right)^2}2
+ \frac{\left(\frac 1 2\right)^3}{3} + \cdots + \frac{\left(\frac 1 2\right)^n}{n}.\]
a.
Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul :
\[S_n = I_0 - I_n.\]
Corrigé
On reprend la relation montrée à la question 3.a.
\begin{align*}
S_n
&= \frac 1 2 + \frac{\left(\frac 1 2\right)^2}2
+ \frac{\left(\frac 1 2\right)^3}{3} + \cdots + \frac{\left(\frac 1 2\right)^n}{n}&
\\
&{\small=(I_0 - \cancel{I_1}) + (\cancel{I_1} - \cancel{I_2}) + (\cancel{I_2} - \cancel{I_3})
+ \cdots
+ (\cancel{I_{n-1}} - I_n)}&
\\
&=I_0 - I_n.&
\end{align*}
b.
Déterminer la limite de la suite $(S_n)$.
Corrigé
Puisque l'on a déjà montré que
\[\lim_{n\to+\infty} I_n = 0\]
il vient que
\[\lim_{n\to+\infty} S_n = I_0 = \ln(2).\]
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