Si $x\in\left[\frac 1 2;1\right]$, alors $x^n\geqslant 0$, donc \[x \leqslant 1 \implies x\times x^n \leqslant 1\times x^n \implies x^{n+1} \leqslant x^n.\] Puisque $x\in\left[\frac 1 2;1\right]$, $\ln(x) \leqslant 0$.
Donc \[x^{n+1} \leqslant x^n \implies x^{n+1}\ln(x) \geqslant x^n\ln(x).\] On "intègre" cette inégalité \[\begin{aligned} x^{n+1}\ln(x) &\geqslant x^n\ln(x)& \\ \implies \int_{\frac 1 2}^1 x^{n+1}\ln(x)\mathrm dx &\geqslant \int_{\frac 1 2}^ 1 x^n\ln(x)\mathrm dx& \\ \implies I_{n+1} &\geqslant I_n.& \end{aligned}\] La suite $(I_n)$ est donc croissante.