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Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose :
\[u_n = \int_1^2 \mathrm e^{-nt^2}\:\mathrm dt.\]
-
Montrer que si $t\ge 1$, alors
\[0\le \mathrm e^{-nt^2} \le \mathrm e^{-nt}.\]
Corrigé
Si $t\ge 1$ (donc $t>0$), alors:
\[
\begin{aligned}
&
t\ge 1 \implies t^2 \ge t
\implies nt^2 \ge nt
\implies -nt^2 \le -nt
&
\\
&\implies \mathrm e^{-nt^2} \le \mathrm e^{-nt}.&
\end{aligned}
\]
D'autre part, une exponentielle est toujours positive, donc on a bien
\[0\le \mathrm e^{-nt^2} \le \mathrm e^{-nt}.\]
-
En déduire que
\[0\le u_n \le \frac{\mathrm e^{-n} - \mathrm e^{-2n}}{n}.\]
Corrigé
En intégrant cette inégalité (les bornes de l'intégrale étant dans le sens croissant):
\[
\begin{aligned}
&0\le \mathrm e^{-nt^2} \le \mathrm e^{-nt}&
\\ \implies
&\int_1^2 0\:\mathrm dt \le \int_1^2 \mathrm e^{-nt^2}\:\mathrm dt
\le \int_1^2 \mathrm e^{-nt}\:\mathrm dt&
\\ \implies
&0 \le u_n \le \int_1^2 \mathrm e^{-nt}\:\mathrm dt.&
\end{aligned}
\]
Or:
\[ \int_1^2 \mathrm e^{-nt}\:\mathrm dt = \left[\frac{\mathrm e^{-nt}}{-n}\right]_1^2
=-\frac{\mathrm e^{-2n}} n + \frac{\mathrm e^{-n}}{n} = \frac{\mathrm e^{-n}-\mathrm e^{-2n}}{n}.\]
Don on a bien
\[0\le u_n \le \dfrac{\mathrm e^{-n} -\mathrm e^{-2n}}{n}.\]
-
Étudier la convergence de la suite $(u_n)$.
Corrigé
De
\[\displaystyle\lim_{n\to +\infty} -n
= -\infty\ \text{et}\ \displaystyle\lim_{n\to +\infty} -2n
= -\infty\]
on déduit que
\[\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \mathrm e^{-n}-\mathrm e^{-2n} = 0+0=0.\]
Et comme
\[\displaystyle\lim_{n\to +\infty} n = +\infty\]
on en déduit par quotient que
\[\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \dfrac{\mathrm e^{-n} - \mathrm e^{-2n}}{n} = 0.\]
La suite $(u_n)$ étant encadrée par deux suites tendant vers 0, elle converge elle-même vers 0.
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