EX-4.03
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Calculer, en unités d'aire du repère, l'aire du domaine colorié ci-dessous, sachant qu'il a été construit avec les courbes des fonctions $f$ et $g$ définies par : \[ f(x) = 5 - (x-1)^2 \qquad\text{et}\qquad g(x)=-x+4.\]
La droite et la parabole sont sécantes aux points dont l'abscisse $x$ vérifie :
\[\begin{aligned}
5 - (x-1)^2 &= -x + 4&
\\ \iff
5 - x^2 + 2x - 1 &=-x+4&
\\ \iff
-x^2 + 3x &= 0&
\\ \iff
x(x-x+3)&=0.&
\end{aligned}\]
La droite et la parabole sont donc sécantes aux points d'abscisses 0 et 3.
Il est clair que $f(x)\ge g(x)$ sur l'intervalle $[0;3]$, donc l'aire colorée est donnée par : \[ \begin{aligned} \int_0^3 \left[f(x)-g(x)\right]\:\mathrm dx &=\int_0^3 \left(-x^2 + 3x\right)\:\mathrm dx& \\ &=\left[-\frac{x^3}3 + \frac 3 2 x^2\right]_0^3& \\ &=-\frac{3^3} 3 + \frac 3 2 \times 3^2 +\frac{0^3} 3 -\frac 3 2 \times 0^2& \\ &=\frac 9 2\ \text{u.a.}& \end{aligned} \]
Il est clair que $f(x)\ge g(x)$ sur l'intervalle $[0;3]$, donc l'aire colorée est donnée par : \[ \begin{aligned} \int_0^3 \left[f(x)-g(x)\right]\:\mathrm dx &=\int_0^3 \left(-x^2 + 3x\right)\:\mathrm dx& \\ &=\left[-\frac{x^3}3 + \frac 3 2 x^2\right]_0^3& \\ &=-\frac{3^3} 3 + \frac 3 2 \times 3^2 +\frac{0^3} 3 -\frac 3 2 \times 0^2& \\ &=\frac 9 2\ \text{u.a.}& \end{aligned} \]
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code : 488