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Répondre aux questions suivantes en s'appuyant sur une représentation graphique.

1. Déterminer :
   1. $\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \sin x\:\mathrm dx$ ;
      Corrigé
      On considère la représentation graphique de $x\mapsto \sin x$ ci-dessous, dans laquelle on remarque que $\mathscr A_1 =\mathscr A_2$ :

      

      Alors \[ \begin{aligned} \displaystyle\int_0^{2\pi} \sin x\:\mathrm dx &= \displaystyle\int_0^\pi \sin x\:\mathrm dx + \displaystyle\int_\pi^{2\pi}\sin x\:\mathrm dx& \\ &= \mathscr A_1 - \mathscr A_2& \\ &= 0.& \end{aligned} \]
   2. $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos x\:\mathrm dx$.
      Corrigé
      On considère désormais la représentation graphique de $x\mapsto \cos x$ dans laquelle on remarque que \[\mathscr A_1 = \mathscr A_2 = \mathscr A_3 = \mathscr A_4.\]

      

      Alors : $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos x\:\mathrm dx = -\mathscr A_1 + \mathscr A_2 + \mathscr A_3 - \mathscr A_4 = 0$.
2. En admettant que : \[\displaystyle\int_0^3 x^2\:\mathrm dx = 9,\] déterminer \[\displaystyle\int_{-3}^3 x^2 \mathrm dx.\] Corrigé
   Dans la représentation graphique de $x\mapsto x^2$ ci-dessous, on voit que les aires $\mathscr A_1$ et $\mathscr A_2$ sont égales.

   

   Donc \[ \begin{aligned} \displaystyle\int_{-3}^3 x^2\:\mathrm dx &= \displaystyle\int_{-3}^0 x^2\:\mathrm dx + \int_0^3 x^2\:\mathrm dx& \\ &= \mathscr A_1 + \mathscr A_2& \\ &= 2\mathscr A_2& \\ &= 2\times 9& \\ &= 18\ \text{u.a.}& \end{aligned} \]
3. Plus généralement, si $f$ est une fonction impaire définie et dérivable sur $[-a;a]$ ($a\in\mathbb R^*_+$), que peut-on dire de \[\int_{-a}^a f(x)\:\mathrm dx\ ?\] Corrigé
   La courbe d'une fonction $f$ impaire étant symétrique par rapport à l'origine, les intégrales $\int_{-a}^0 f(x)\:\mathrm dx$ et $\int_0^a f(x)\:\mathrm dx$ seront opposées, donc \[\int_{-a}^a f(x)\:\mathrm dx = \int_{-a}^0 f(x)\:\mathrm dx + \int_0^a f(x)\:\mathrm dx = 0.\]
4. Si $f$ est une fonction paire définie et dérivable sur $[-a;a]$ ($a\in\mathbb R^*_+$), établir une relation entre \[\int_{-a}^a f(x)\:\mathrm dx\] et \[\int_0^a f(x)\:\mathrm dx.\] Corrigé
   La courbe d'une fonction $f$ paire étant symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, les intégrales $\int_{-a}^0 f(x)\:\mathrm dx$ et $\int_0^a f(x)\:\mathrm dx$ seront égales, donc \[\begin{aligned} \int_{-a}^a f(x)\:\mathrm dx &= \int_{-a}^0 f(x)\:\mathrm dx + \int_0^a f(x)\:\mathrm dx& \\ &= 2\int_0^a f(x)\:\mathrm dx.& \end{aligned}\]

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