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Soit $f$ la fonction affine par morceaux définie sur l'intervalle $[-3;4]$ par sa courbe représentative $\mathscr C$ dans le repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j)$ ci-dessous.

1. Déterminer les valeurs de :
   1. $\displaystyle\int_{-3}^{-1} f(x)\:\mathrm dx$ ;
      Corrigé
      En comptant les carreaux ou en utilisant des formules d'aire, on obtient que : \[ \int_{-3}^{-1} f(x)\:\mathrm dx = \frac{2\times 4} 2= 4\;;\]
   2. $\displaystyle\int_{-1}^1 f(x)\:\mathrm dx$ ;
      Corrigé
      En comptant les carreaux ou en utilisant des formules d'aire, on obtient que : \[\int_{-1}^{1} f(x)\:\mathrm dx =\frac{4+2}2 \times 2 = 6\;;\]
   3. $\displaystyle\int_1^4 f(x)\:\mathrm dx$.
      Corrigé
      En comptant les carreaux ou en utilisant des formules d'aire, on obtient que : \[\int_1^4 f(x)\:\mathrm dx = 3\times 2 = 6.\]
2. En déduire :
   1. $\displaystyle\int_{-3}^4 f(x) \:\mathrm dx$,
      Corrigé
      D'après la relation de Chasles : \[ \begin{aligned} &\phantom{=}\int_{-3}^4 f(x)\:\mathrm dx& \\ &=\int_{-3}^{-1} f(x)\:\mathrm dx + \int_{-1}^1 f(x)\:\mathrm dx +\int_1^4 f(x)\:\mathrm dx& \\ &= 4 + 6 + 6& \\ &= 16.& \end{aligned} \]
   2. $\displaystyle\int_4^{-3} f(x)\:\mathrm dx$.
      Corrigé
      \[\int_4^{-3} f(x)\:\mathrm dx = -\int_{-3}^4 f(x)\:\mathrm dx = - 16.\]
3. Donner la valeur moyenne de $f$ sur $[-3;4]$.
   Corrigé
   La valeur moyenne de $f$ sur $[-3;4]$ est : \[\mu = \frac{1}{4-(-3)}\int_{-3}^4 f(x)\:\mathrm dx =\frac 1 7 \times 16 = \frac{16} 7.\]

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code : 479