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Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par \[f(x) = x-1.\]

1. Représenter graphiquement cette fonction.
   Corrigé
   
2. Calculer à partir d'une aire
   1. $\displaystyle\int_{-3}^1 f(x)\:\mathrm dx$.
      Corrigé
      Sur l'intervalle $[-3;1]$, la fonction $f$ est négative, donc : \[\int_{-3}^1 f(x)\:\mathrm dx = -\frac{4\times 4} 2 = -8.\]
   2. $\displaystyle\int_1^4 f(x)\:\mathrm dx$.
      Corrigé
      Sur l'intervalle $[1;4]$, la fonction $f$ est positive, donc : \[\int_{1}^4 f(x)\:\mathrm dx = \dfrac{3\times 3} 2 = \dfrac 9 2.\]
3. En déduire :
   1. $\displaystyle\int_{-3}^4 f(x)\:\mathrm dx$.
      Corrigé
      \[ \begin{aligned} \int_{-3}^4 f(x)\:\mathrm dx &= \int_{-3}^1 f(x)\:\mathrm dx + \int_1^4 f(x)\:\mathrm dx& \\ &=-8 + \dfrac 9 2 = -\dfrac 7 2.& \end{aligned} \]
   2. $\displaystyle\int_4^{-3} f(x)\:\mathrm dx$.
      Corrigé
      \[\int_{4}^{-3} f(x)\:\mathrm dx = -\int_{-3}^4 f(x):\mathrm dx = \dfrac 7 2.\]
4. Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[-3;1]$.
   Corrigé
   La valeur moyenne de $f$ sur $[-3;4]$ est: \[\dfrac 1 {4-(-3)} \int_{-3}^4 f(x)\: \mathrm dx = \dfrac 1 7 \times \left(-\dfrac 7 2\right) = \dfrac 1 2.\]

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