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Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
a.
$2^n \geqslant 10^6$;
Corrigé
\begin{align*}
2^n &\leqslant 10^6&
\\ \iff
\ln(2^n) &\leqslant \ln(10^6)&
\\ \iff
n\ln(2) &\leqslant 6\ln(10)&
\\ \iff
n &\leqslant \dfrac{6\ln(10)}{\ln(2)}&
\end{align*}
Or $\dfrac{6\ln(10)}{\ln(2)}\approx 19,93$, donc
la valeur cherchée de $n$ est $20$.
2.
$\left(\dfrac 1 5\right)^n \leqslant 10^{-9}$.
Corrigé
\begin{align*}
\left(\dfrac 1 5\right)^n &\leqslant 10^{-9}&
\\ \iff
n\ln\left(\dfrac 1 5\right) &\leqslant -9\ln(10)&
\\ \iff
-n\ln(5) &\leqslant -9\ln(10)&
\\ \iff
n &\geqslant \dfrac{9\ln(10)}{\ln(5)}&
\end{align*}
Puisque $\dfrac{9\ln(10)}{\ln(5)}\approx 12,9$, la valeur de $n$ cherchée est $13$.
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