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1.
Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $1,1^n > 10^5$.
Corrigé
$n$ doit vérifier :
\[\begin{aligned}
&1,1^n > 10^5&
\\ \iff
&\ln\left(1,1^n\right) > \ln\left(10^5\right)&
\\ \iff
&n\ln(1,1) > 5\ln(10)&
\\ \iff
&n > \frac{5\ln(10)}{\ln(1,1)}.&
\end{aligned}\]
Or
$\dfrac{5\ln(10)}{\ln(1,1)} \approx 120,79$.
Donc $n=121$.
2.
Déterminer le plus grand entier naturel $n$ tel que $0,2^n > 10^{-10}$.
Corrigé
$n$ doit vérifier la relation :
\[\begin{aligned}
&0,2^n > 10^{-10}&
\\ \iff
&\ln\left(0,2^n\right) > \ln\left(10^{-10}\right)&
\\ \iff
&n\underbrace{\ln(0,2)}_{\text{négatif}} > -10\ln(10)&
\\ \iff
&n < -\frac{10\ln(10)}{\ln(0,2)}&
\end{aligned}\]
Or
$-\dfrac{10\ln(10)}{\ln(0,2)} \approx 14,307$
donc $n=14$.
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