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Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j,\vec k)$, on considère les points
\[A(6\;;\;3\;;\;6)
\quad\text{et}\quad
B(6\;;\;-9\;;\;2).\]
1.
Calculer les longueurs $OA$ et $OB$.
Corrigé
Le repère étant orthonormé :
\[\begin{aligned}
OA^2
&= \lVert\overrightarrow{OA}\rVert^2
=6^2 + 3^2 + 6^2
=81&
\\ \implies
OA &= \sqrt{81} = 9.&
\\
OB^2
&= \lVert\overrightarrow{OB}\rVert^2
=6^2 + (-9)^2 + 2^2
=121&
\\ \implies
OA &= \sqrt{121} = 11.&
\end{aligned}\]
2.
Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}$.
Corrigé
\[\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}
= 6\times 6 + 3\times (-9) + 6\times 2
=21.\]
3.
Calculer, arrondie au degré près, la mesure de l'angle $\widehat{AOB}$.
Corrigé
On a donc :
\[\begin{aligned}
OA \times OB \times \cos\widehat{AOB} &= \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}&
\\ \iff
9\times 11 \times \cos\widehat{AOB} &= 21&
\\ \iff
99\cos\widehat{AOB} &= 21&
\\ \iff
\cos\widehat{AOB} &=\frac{21}{99} =\frac{7}{33}.&
\end{aligned}\]
Or d'après la calculatrice, $\arccos\frac 7 {33} \approx 77,75$ donc
\[\widehat{AOB} \approx 78°.\]
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