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Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne les points
\[A(1\:;\:1\:;\:0),\quad
B(5\:;\:2\:;\:8)
\quad\text{et}\quad
C(-2\:;\:7\:;\:6).\]
1.
Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
Corrigé
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées
$\begin{pmatrix}5-1\\2-1\\8-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\1\\8\end{pmatrix}$.
Le vecteur $\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées
$\begin{pmatrix}-2-1\\7-1\\6-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\6\\6\end{pmatrix}$.
Donc :
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}
=4\times(-3)+1\times 6 + 8 \times 6 = 42$.
2.
Montrer que le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.
Corrigé
$AB = \sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2} = \sqrt{81} = 9$
$AC = \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + 6^2} = \sqrt{81} = 9$.
$AB = AC$, donc le triangle $ABC$ est bien isocèle en $A$.
3.
Déterminer, au dixième près, une mesure en degrés de l'angle $\widehat{BAC}$.
Corrigé
On a :
\[\begin{aligned}
AB \times AC \times \cos\widehat{BAC} &= \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}&
\\ \iff
9^2 \cos\widehat{BAC} &= 42&
\\ \iff
\cos\widehat{BAC} &= \frac{42}{81} = \frac{14}{27}.&
\end{aligned}\]
Or d'après la calculatrice, $\arccos\left(\dfrac{14}{27}\right) \approx 58,76°$, donc $\widehat{BAC}\approx 58,8°$.
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