retour
L'espace est muni d'un repère $\left(O;\vec i,\vec j,\vec k\right)$.
On donne les points
\[A(2\;;\;4\;;\;3),\quad B(0\;;\;1\;;\;5),\quad\text{et}\quad C(5\;;\;-3\;;\;3).\]
On appelle centre de gravité du triangle $ABC$ le point $G$ défini par l'égalité vectorielle
\[\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = \vec 0.\]
Donner les coordonnées du point $G$ dans le repère $\left(O;\vec i,\vec j,\vec k\right)$.
Corrigé
Posons $G(x,y,z)$. L'égalité
\[\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = \vec 0\]
se traduit en coordonnées par
\begin{align*}
&\begin{cases}
(2-x) + (0 - x) + (5-x) = 0\\
(4-y) + (1-y) + (-3-y) = 0\\
(3-z) + (5-z) + (3-z) = 0
\end{cases}&
\\ \iff
&\begin{cases}
-3x + 7 = 0\\2-3y = 0\\11-3z = 0
\end{cases}&
\\ \iff
&\begin{cases}
x = \frac 7 3\\ y = \frac 2 3 \\ z = \frac{11} 3
\end{cases}.&
\end{align*}
Donc $G\left(\dfrac 7 3;\dfrac 2 3;\dfrac {11} 3\right)$.
retour