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Pour calculer les distances entre le Soleil et une planète, on peut mesurer l'angle sous lequel on les voit.

Sur le schéma ci-dessous, le point V désigne la planète Vénus, connue aussi sous le nom d'« étoile du berger », le point S le Soleil et le point T la Terre.

Au XVI^e siècle, l'astronome polonais Nicolas Copernic a mesuré l'angle $\widehat{STV}$ quand les trois planètes forment un triangle rectangle en $V$;
il a trouvé 48°.

1. Montrer que la distance de Vénus au Soleil est environ égale à 0,74 fois celle de la Terre au Soleil.
   Corrigé
   Le triangle $STV$ étant rectangle en $V$ : \[\frac{SV}{ST} = \sin\widehat{STV} = \sin 48° \approx 0,74.\]
2. Sachant que la distance Terre-Soleil est égale à environ 1,5×10⁸, calculer la distance Vénus-Soleil.
   Corrigé
   On a donc : \[\begin{aligned} \frac{SV}{ST} &;= 0,74& \\ \implies SV &= 0,74 \times ST& \\ \implies SV &\approx 0,74 \times 1,5\times 10^8& \\ \implies SV &\approx 1,11\times 10^8.& \end{aligned}\] La distance entre Vénus et le Soleil serait d'environ 111 millions de km.
   (la valeur réelle est plutôt voisine de 108 millions de km.)
3. Calculer la distance Vénus-Terre dans cette disposition.
   Corrigé
   Dans le triangle rectangle $STV$, on a aussi : \[\begin{aligned} \cos \widehat{STV} &= \frac{TV}{TS}& \\ \implies TV &= TS \times \cos\widehat{STV}& \\ \implies TV &= 1,5\times 10^8 \times \cos 48°& \\ \implies TV &\approx 10^8. \end{aligned}\] La distance entre ces astres serait donc voisine de 100 millions de km.

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code : 390