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Dans chacun des cas suivants, la fonction $f$ est définie et dérivable sur l'ensemble $D_f$ donné.
Calculer l'expression de $f'(x)$.
1.
$f(x) = 3x - 2$ et $D_f = \mathbb R$.
Corrigé
$f'(x) = 3$
2.
$f(x) = x^2 - 5x + 2$ et $D_f = \mathbb R$.
Corrigé
$f'(x) = 2x - 5$
3.
$f(x) = (x+1)\mathrm e^x$ et $D_f = \mathbb R$.
Corrigé
\[\begin{aligned}
f'(x) &= 1\cdot\mathrm e^x + (x+1)\mathrm e^x&\\
&= (1+x+1)\mathrm e^x&\\
&=(x+2)\mathrm e^x.&
\end{aligned}\]
4.
$f(x) = \dfrac{3x +1}{x-2}$ et $D_f = \mathbb R \setminus\{2\}$.
Corrigé
\[\begin{aligned}
f'(x) &= \frac{3(x-2) - (3x+1)\cdot 1}{(x-2)^2}&\\
&=\frac{3x - 6 - 3x - 1}{(x-2)^2}&\\
&=\frac{-7}{(x-2)^2}.&
\end{aligned}\]
5.
$f(x) = \dfrac{7x - 3}{x^2 + 1}$ et $D_f = \mathbb R$.
Corrigé
\[\begin{aligned}
f'(x) &= \frac{7(x^2+1) - (7x-3)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}&\\
&=\frac{7x^2 + 7 - 14x^2 + 6x}{(x^2 + 1)^2}&\\
&=\frac{-7x^2 + 6x + 7}{(x^2 + 1)^2}&
\end{aligned}\]
6.
$f(x) = \mathrm e^{5x + 1}$ et $D_f = \mathbb R$.
Corrigé
$f'(x) = 5\mathrm e^{5x+1}$.
7.
$f(x) = (8x + 1)^7$ et $D_f = \mathbb R$.
Corrigé
$f'(x) = 7 \cdot 8 (8x+1)^6 = 56(8x+1)^6$.
8.
$f(x) = (3x - 2)\mathrm e^{x^2}$ et $D_f = \mathbb R$.
Corrigé
\[\begin{aligned}
f'(x) &= 3\mathrm e^{x^2} + (3x-2)\cdot 2x\mathrm e^{x^2}&\\
&= \mathrm e^{x^2} \left( 3 + (3x-2)\cdot 2x\right)&\\
&=\mathrm e^{x^2}(3 + 6x^2 - 4x)&\\
&=\mathrm e^{x^2}(6x^2 - 4x + 3).&
\end{aligned}\]
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