M. Schmitt, géomètre, doit déterminer la largeur d'une rivière.
Voici le croquis qui figure sur son carnet.
Calculer la longueur BC au dixième près.
Corrigé
Dans le triangle ABC, rectangle en B, on peut écrire que :
\[\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\tan\widehat{\mathrm{BAC}}
\iff
\mathrm{BC} = \mathrm{AB}\times \tan\widehat{\mathrm{BAC}}\]
Donc, en mètres:
\[\mathrm{BC} = 100\times \tan(22°)\approx 100\times 0,404 \approx 40,4.\]
Calculer la longueur BD au dixième près.
Corrigé
Le triangle ABD est rectangle en B donc :
\[\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}} = \tan\widehat{\mathrm{BAD}}
\implies
\mathrm{BD} = \mathrm{AB}\times \tan\widehat{\mathrm{BAD}}.\]
Donc, en mètres:
\[\mathrm{BD} = 100 \times \tan(60°) \approx 100 \times 1,732 \approx 173,2.\]
En déduire la largeur de la rivière à un mètre près.
Corrigé
La largeur de la rivière est :
\[\mathrm{CD} = \mathrm{BD} -\mathrm{BC}\]
Donc, en mètres :
\[\mathrm{BD}\approx 173,2 - 40,4 = 132,8.\]