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Déterminer la dérivée des fonctions suivantes :
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$f_1$, définie et dérivable sur $\mathbb R$, telle que
\[f_1(x) = x^3 - 5x^2 + x - 2;\]
Corrigé
\[\begin{aligned}
f'_1(x) &= 3x^2 - 5\times 2x + 1&\\
&= 3x^2 -10x + 1.
\end{aligned}\]
-
$f_2$, définie et dérivable sur $\mathbb R$, telle que
\[f_2(x) = x\mathrm e^x + 5;\]
Corrigé
\[\begin{aligned}
f'_2(x) &= 1\times \mathrm e^x + x \times \mathrm e^x&\\
&= \mathrm e^x + x\mathrm e^x&\\
&= (1+x)\mathrm e^x.
\end{aligned}\]
-
$f_3$, définie et dérivable sur $\mathbb R$, telle que
\[f_3(x) = (5x + 1)^7;\]
Corrigé
\[
f'_3(x) = 7 \times 5 \times (5x+1)^6 = 35(5x + 1)^6.
\]
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$f_4$, définie et dérivable sur $]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[$ telle que
\[f_4(x) = \dfrac{2x + 5}{x + 1};\]
Corrigé
\[\begin{aligned}
f'_4(x) &= \dfrac{2(x+1) - 1(2x+5)}{(x+1)^2}&\\
&=\dfrac{2x + 2 - 2x - 5}{(x+1)^2}&\\
&= -\dfrac{3}{(x+1)^2}.&
\end{aligned}\]
-
$f_5$, définie et dérivable sur $\mathbb R$, telle que
\[f_5(x) = \dfrac{\mathrm 2\mathrm e^x + 5}{\mathrm e^x + 1};\]
Corrigé
\[\begin{aligned}
f'_5(x) &= \dfrac{2\mathrm e^x(\mathrm e^x + 1) - (2\mathrm e^x + 5)\mathrm e^x}
{\left(\mathrm e^x + 1\right)^2}&\\
&=\dfrac{2\mathrm e^{2x} + 2\mathrm e^x - 2\mathrm e^{2x} - 5\mathrm e^x}{\left(\mathrm e^x + 1\right)^2}&\\
&= -\dfrac{3\mathrm e^x}{\left(\mathrm e^x + 1\right)^2}.&
\end{aligned}\]
-
$f_6$ définie et dérivable sur $\mathbb R$, telle que
\[f_6(x) = \mathrm e^{x^2+x+1}.\]
Corrigé
\[f'_6(x) = (2x+1)\mathrm e^{x^2+x+1}.\]
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