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Soit $F$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par :
\[F(x) = \displaystyle\int_0^x \mathrm e^{t^2}\:\mathrm dt.\]
Remarque : Il n'est pas possible d'exprimer $F(x)$ en fonction de $x$.
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Déterminer la dérivée $f$ de la fonction $F$ sur $\mathbb R$.
Corrigé
Notons $t\mapsto \mathrm e^{x^2}$. $F$ est la primitive de cette fonction qui s'annule en 0,
ce qui revient à dire que cette fonction est la dérivée de $F$. Donc
\[\forall x\in\mathbb R,\quad F'(x) = f(x) = \mathrm e^{x^2}.\]
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Déterminer le sens de variation de $F$ sur $\mathbb R$.
Corrigé
Une exponentielle est toujours strictement positive, donc $F'$ est strictement positive,
donc $F$ est strictement croissante.
-
Donner la valeur de $F(0)$ et en déduire le signe de la fonction $F$ sur $\mathbb R$.
Corrigé
On sait que $F(0) = 0$ et $F$ est strictement croissante donc:
\[\begin{aligned}
&x < 0 \implies F(x) < F(0) \implies F(x) < 0\;;&
\\
&x > 0 \implies F(x) > F(0) \implies F(xà > 0.&
\end{aligned}\]
La fonction $F$ admet donc le tableau de signes suivant
\[\begin{array}{|l|ccccc|}\hline
x &-\infty&\qquad&0&\qquad&+\infty \\ \hline
F(x)&&-&0&+& \\ \hline
\end{array}\]
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