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Donner l'expression de $f'(x)$ quand $f$ est la fonction dérivable sur $\mathbb R_+^*$ telle que:
1.
$f(x) = x\sqrt{x}$;
Corrigé
$f$ est de la forme $u\times v$ où
\begin{align*}
u(x)&=x& &\implies& u'(x)&=1&\\
v(x) &=\sqrt{x}& &\implies& v'(x)&=\frac 1 {2\sqrt x}&
\end{align*}
Donc $f' = u'v + uv'$, ce qui donne:
\[f'(x) = 1 \times \sqrt{x} + x \times \frac 1 {2\sqrt x}
=\sqrt x + \frac x {2\sqrt x}.\]
2.
$f(x) = 3x\sqrt{x}$;
Corrigé
$f$ est de la forme $u\times v$ où:
\[\begin{aligned}
u(x)&=3x& &\implies& u'(x)&=3&\\
v(x)&=\sqrt x& &\implies& v'(x) = \frac 1 {2\sqrt x}&
\end{aligned}\]
Puisque $f'=u'v+uv'$ on a donc:
\[f'(x) = 3\sqrt x + 3x\times \frac 1 {2\sqrt x} = 3\sqrt x + \frac{3x}{2\sqrt x}\]
3.
$f(x) = x^2\sqrt{x}$;
Corrigé
$f$ est de la forme $u\times v$ avec:
\[\begin{aligned}
u(x) &= x^2& &\implies& u'(x)&=2x&\\
v(x)&=\sqrt x& &\implies& v'(x)&=\frac 1 {2\sqrt x}&
\end{aligned}\]
Puisque $f'=u'v+uv'$, on a:
\[f'(x) = 2x\sqrt x + x^2\times \frac 1 {2\sqrt x} = 2x\sqrt x + \frac{x^2}{2\sqrt x}.\]
4.
$f(x) = (x+3)\sqrt{x}$.
Corrigé
$f=u\times v$ avec:
\[\begin{aligned}
u(x)&=x+3& &\implies& u'(x)&=1&\\
v(x)&=\sqrt x& &\implies& v'(x)&=\frac 1 {2\sqrt x}&
\end{aligned}\]
De $f'=u'v+uv'$ on déduit que:
\[f'(x) = 1 \times \sqrt x + (x+3)\times \frac 1 {2\sqrt x}
=\sqrt x + \frac{x+3}{2\sqrt x}.\]
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