EX-3.03
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1.
Donner trois valeurs de $x$ pour lesquelles l'égalité
\[\sin(2x) = 2\sin(x)\]
est vraie.
Corrigé
On peut proposer $x=0$, $x=\pi$ et $x=-\pi$.
En effet si $x=0$ : \begin{align*} \sin(2x)&= \sin(2\times 0) = \sin(0) = 0\;;& \\ 2\sin(x)&= 2\sin(0) = 2\times 0 = 0.& \end{align*} Si $x = \pi$ : \begin{align*} \sin(2x) &= \sin(2\pi) = \sin(0) = 0\;;& \\ 2\sin(x)&=2\sin(\pi) = 2\times 0 = 0.& \end{align*} Et si $x=-\pi$: \begin{align*} \sin(2x) &= \sin(-2\pi) = \sin(0) = 0\;;& \\ 2\sin(x) &= 2\sin(\pi) = 2\times 0 = 0.& \end{align*}
En effet si $x=0$ : \begin{align*} \sin(2x)&= \sin(2\times 0) = \sin(0) = 0\;;& \\ 2\sin(x)&= 2\sin(0) = 2\times 0 = 0.& \end{align*} Si $x = \pi$ : \begin{align*} \sin(2x) &= \sin(2\pi) = \sin(0) = 0\;;& \\ 2\sin(x)&=2\sin(\pi) = 2\times 0 = 0.& \end{align*} Et si $x=-\pi$: \begin{align*} \sin(2x) &= \sin(-2\pi) = \sin(0) = 0\;;& \\ 2\sin(x) &= 2\sin(\pi) = 2\times 0 = 0.& \end{align*}
2.
Cette égalité est-elle vraie pour tout réel $x$?
Corrigé
Cette relation est cependant loi d'être vérifiée tout le temps.
Prenons par exemple $x=\dfrac{\pi}2$. \begin{align*} \sin(2x) &= \sin\left(2\times \frac{\pi}2\right) = \sin(\pi) = 0\;;& \\ 2\sin(x) &= 2\sin\left(\frac{\pi}2\right) = 2\times 1 = 2.& \end{align*} Plus généralement, si l'on trace dans un même graphique les courbes des fonctions $x\mapsto \sin(2x)$ et $x\mapsto \sin(x)$, les abscisses des points d'intersection des deux courbes sont les (seules) valeurs de $x$ vérifiant la relation proposée.
Prenons par exemple $x=\dfrac{\pi}2$. \begin{align*} \sin(2x) &= \sin\left(2\times \frac{\pi}2\right) = \sin(\pi) = 0\;;& \\ 2\sin(x) &= 2\sin\left(\frac{\pi}2\right) = 2\times 1 = 2.& \end{align*} Plus généralement, si l'on trace dans un même graphique les courbes des fonctions $x\mapsto \sin(2x)$ et $x\mapsto \sin(x)$, les abscisses des points d'intersection des deux courbes sont les (seules) valeurs de $x$ vérifiant la relation proposée.
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code : 366