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1.
$x$ est un nombre réel de l'intervalle $\left[0\;;\;\dfrac\pi 2\right]$ tel que $\cos(x)=\dfrac 1 4$.
a.
Calculer la valeur exacte de $\sin(x)$.
Corrigé
D'après la relation fondamentale de la trigonométrie:
\begin{align*}
\left(\sin(x)\right)^2 + \left(\cos(x)\right)^2 &=1&
\\ \iff
\left(\sin(x)\right)^2 &= 1 - \left(\cos(x)\right)^2&
\\ \iff
\left(\sin(x)\right)^2 &= 1 - \left(\frac 1 4\right)^2&
\\ \iff
\left(\sin(x)\right)^2 &= \frac{15}{16}.&
\end{align*}
Or on sait que $x\in\left[0;\frac{\pi} 2\right]$ donc ce sinus est positif.
\begin{align*}
\left(\sin(x)\right)^2 &=\frac{15}{16}&
\\ \implies
\sin(x) &= \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{15}} 4.&
\end{align*}
b.
À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de $x$ au
millième.
Corrigé
$x = \arccos\left(\dfrac 1 4\right) \approx 1,318$ radians.
2.
Reprendre la question 1 pour calculer la valeur exacte de $\cos(x)$ sachant que $x$ est un réel de
l'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}2\;;\;\dfrac{\pi}2\right]$ tel que $\sin(x)=-0,4$.
Corrigé 2.a.
Corrigé 2.b.
D'après la relation fondamentale de la trigonométrie
\begin{align*}
\left(\cos(x)\right)^2 + \left(\sin(x)\right)^2 &= 1&
\\ \iff
\left(\cos(x)\right)^2 &= 1 - \left(\sin(x)\right)^2&
\\ \iff
\left(\cos(x)\right)^2 &= 1 - (-0,4)^2&
\\ \iff
\left(\cos(x)\right)^2 &= 0,84.&
\end{align*}
Puisque $x\in\left[-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2\right]$, $\cos(x)$ est positif.
\begin{align*}
\left(\cos(x)\right)^2 &= 0,84&
\\ \implies
\cos(x) &= \sqrt{0,84} = \sqrt{\frac{84}{100}} = \sqrt{\frac{21}{25}}
=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{25}}&
\\
&= \frac{\sqrt{21}}5.&
\end{align*}
$x = \arcsin(-0,4) \approx -0,412$ radians.
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