retour

Dans chaque cas, déterminer le ou les réels $x$ vérifiant les conditions données.

1. $\sin x = \dfrac 1 2$ et $x\in\left[0\;;\;\dfrac \pi 2\right]$;
   Corrigé
   On sait que $\sin\dfrac{\pi}6 = \dfrac 1 2$ et $\dfrac{\pi}6\in\left[0\;;\;\dfrac{\pi}2\right]$.
   C'est l'unique valeur qui convienne dans l'intervalle, donc $\alpha = \dfrac{\pi}6$.

   
2. $\cos x = \dfrac{\sqrt 2} 2$ et $x\in \left[-\dfrac \pi 2\;;\; \dfrac \pi 2\right]$;
   Corrigé
   On sait que $\cos\dfrac{\pi}4 = \dfrac{\sqrt 2}2$ et $\dfrac{\pi}4\in\left[-\dfrac{\pi}2\;;\;\dfrac{\pi}2\right]$.
   Cependant, $\cos\left(-\dfrac{\pi}4\right) = \dfrac{\sqrt 2}2$ aussi et $-\dfrac{\pi}4\in\left[-\dfrac{\pi}2\;;\;\dfrac{\pi}2\right]$.
   Il y a donc deux valeurs qui conviennent ici $\alpha = -\dfrac{\pi}4$ et $\alpha = \dfrac{\pi}4$.

   
3. $\sin(x) = -\dfrac{\sqrt 3}2$ et $x\in\left[-\pi\;;\;-\dfrac \pi 2\right]$;
   Corrigé
   On sait que $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) =\dfrac {\sqrt{3}}{2}$. Donc $\sin\left(-\dfrac{\pi}3\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}2$.
   Mais $-\dfrac{\pi}3\notin\left[-\pi\;;\;-\dfrac{\pi}2\right]$.
   Donc finalement $\alpha = -\dfrac{2\pi}3$ (voir figure ci-dessous).

   
4. $\cos(x) = -\dfrac{\sqrt 2}2$ et $x\in\left[\dfrac \pi 2\;;\;\pi\right]$;
   Corrigé
   On sait que $\cos\left(\dfrac{\pi}4\right) = \dfrac{\sqrt 2}2$ donc $\cos\left(\dfrac{3\pi}4\right) = -\dfrac{\sqrt 2}2$.
   Puisque $\dfrac{3\pi}4\in\left[\dfrac{\pi}2\;;\;\pi\right]$, $\alpha = \dfrac{3\pi}4$.

   
5. $\sin x = \dfrac 1 {\sqrt 2}$ et $x\in\left[0\;;\;\pi\right]$;
   Corrigé
   On sait que $\sin\dfrac{\pi}4 = \dfrac 1 {\sqrt 2} = \dfrac{\sqrt 2}2$.
   Donc $\alpha = \dfrac{\pi}4$.
   Sur le cercle trigonométrique, on constate qu'une autre valeur convient: $\alpha = \dfrac{3\pi}4$.

   
6. $\cos(x) = -1$ et $x\in\left[-\pi\;;\;\dfrac \pi 2\right]$.
   Corrigé
   On sait que $\cos \pi = -1$. $\pi - 2\pi = -\pi$, donc $-\pi$ est une autre mesure du même angle de vecteurs.
   Donc $\alpha = -\pi$ (il n'y a pas d'autre valeur, voir figure ci-dessous).

   

retour

code : 361