EX-2.2.1.
On donne ci-dessous quatre fonctions affines. \begin{align*} x &\mapsto 3,5x - 7;& x &\mapsto 5x - 2,5;&\\ x &\mapsto -4x + 2;& x&\mapsto -2x + 4.& \end{align*} Associer à chacune de ces fonctions le tableau de signe qui convient parmi ceux proposés ci-après.
Corrigé
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Considérons la fonction $x\mapsto 3,5x - 7$.
Elle s'annule quand \[\begin{aligned} 3,5x - 7 &= 0& \\ \iff 3,5x &= 7 \\ \iff x &= \frac 7 {3,5} = 2.& \end{aligned}\] Son coefficient directeur qui est $3,5$ est positif, donc elle est croissante.
Cela signifie qu'elle est négative à gauche de $2$ et positive à droite.
Il s'agit donc de la fonction $i$. -
Considérons la fonction $x\mapsto 5x - 2,5$.
Elle s'annule quand \[\begin{aligned} 5x - 2,5 &= 0& \\ \iff 5x &= 2,5& \\ \iff &x = \frac{2,5} 5 = \frac 1 2.& \end{aligned}\] Son coefficient directeur est $5$, positif, donc elle est croissante.
Elle est donc négative à gauche de $\frac 1 2$ et positive à droite.
Il s'agit donc de la fonction $g$. -
Considérons la fonction $x\mapsto -4x + 2$. Elle s'annule quand
\[\begin{aligned}
-4x + 2 &= 0&
\\ \iff
-4x &= -2&
\\ \iff
x &= \frac{-2}{-4} = \frac 1 2.&
\end{aligned}\]
Elle est décroissante car son coefficient directeur, $-4$, est négatif.
Elle est donc positive à gauche et négative à droite.
Il s'agit de la fonction $h$. -
Considérons la fonction $x\mapsto -2x + 4$. Elle s'annule quand
\[\begin{aligned}
-2x+4 &= 0&
\\ \iff
-2x &= -4&
\\ \iff
x &= \frac{-4}{-2} = 2.&
\end{aligned}\]
Elle est décroissante car son coefficient directeur, $-2$, est négatif.
Elle est donc positive à gauche et négative à droite.
Il s'agit donc bien de la dernière fonction, la fonction $f$.
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code : 355