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Déterminer la fonction dérivée des fonctions ci-après :
1.
$f$, définie et dérivable sur $\left]-\dfrac 5 4;+\infty\right[$ telle que
\[f(x) =\dfrac{3x+1}{4x+5}.\]
Corrigé
$f$ est de la forme $\frac u v$ avec :
\[\begin{aligned}
u(x) &= 3x + 1& &\implies& u'(x)&=3&\\
v(x) &=4x + 5& &\implies &v'(x)&=4&
\end{aligned}\]
Donc $f$ est dérivable sur $\left]-\frac 5 4;+\infty\right[$ et $f'=\frac{u'v - uv'}{v^2}$, donc:
\[\begin{aligned}
f'(x) &= \frac{3(4x+5) - (3x+1)\times 4}{(4x+5)^2}&
\\
&=\frac{12x + 15 - 12x - 4}{(4x+5)^2}&
\\
&=\frac{11}{(4x+5)^2}.&
\end{aligned}\]
2.
$g$ définie et dérivable sur $\left]-\infty;-\dfrac 3 2\right[$ telle que
\[g(x) = \dfrac{x^2 + 1}{2x + 3}.\]
Corrigé
$g$ est de la forme $\frac u x$ avec:
\[\begin{aligned}
u(x) &= x^2 + 1& &\implies& u'(x) &=2x&\\
v(x)&=2x+3& &\implies& v'(x)&=2&
\end{aligned}\]
Donc $g$ est dérivable sur $\left]-\infty;-\frac 3 2\right[$ avec $g'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$, donc:
\[\begin{aligned}
g'(x) &= \frac{2x(2x+3) - (x^2 +1)\times 2}{(2x+3)^2}&
\\
&=\frac{4x^2 + 6x - 2x^2 - 2}{(2x+3)^2}&
\\
&=\frac{2x^2 + 6x - 2}{(2x+3)^2}.&
\end{aligned}\]
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