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1.
Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation
\[X^2 -2X - 15 = 0.\]
Corrigé
Ce polynôme a pour discriminant strictement positif
\[\Delta = (-2)^2-4\times(-15)\times 1 = 64.\]
Donc $\sqrt\Delta = 8$ et les deux racines sont :
\[X_1 = \frac{2 - 8} 2 = -3\quad\text{et}\quad \frac{2+8}{2} = 5.\]
L'équation proposée a pour ensemble solution $S = \big\{-3;5\big\}$.
2.
En déduire la résolution de l'équation
\[\mathrm e^{2x} - 2\mathrm e^x - 15 = 0.\]
Corrigé
Puisque
\[\mathrm e^{2x} - 2\mathrm e^x - 15 = (\mathrm e^x)^2 - 2\mathrm e^x - 15,\]
l'équation donnée se ramène à l'équation précédente par le changement de variable
$X = \mathrm e^x$.
Ses deux seules solutions possibles sont :
-
$X = -3 \iff \mathrm e^x = -3$,
ce qui est impossible car une exponentielle est toujours positive ;
-
$X = 5 \iff \mathrm e^x = 5 \iff x = \ln 5$.
En définitive, $S = \big\{\ln(5)\big\}$.
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