L'ensemble de définition est $\mathbb R$. \[\begin{aligned} \mathrm e^{3x - 1} &= 1& \\ \iff 3x - 1 &= 0& \\ \iff x &= \frac 1 3.& \\ S&=\left\{\frac 1 3\right\}. \end{aligned}\]

L'ensemble de définition est $\mathbb R$. \[\begin{aligned} x\mathrm e^x - 2\mathrm e^x &= 0& \\ \iff \mathrm e^x(x - 2) &= 0.& \end{aligned}\] Or, quel que soit $x$, $\mathrm e^x \neq 0$, donc l'unique solution de cette équation est $2$. \[S = \big\{2\big\}.\]

L'ensemble de définition est $\mathbb R$. On a: \[\begin{aligned} \mathrm e^{x+1} &= 5& \\ \iff x + 1 &= \ln 5& \\ \iff x &= \ln 5 - 1.& \end{aligned}\] Donc $S = \big\{\ln 5 - 1\big\}$.

L'ensemble de définition est $\mathbb R$. On a: \[\begin{aligned} \mathrm e^{x^2 + x + 1} &< \mathrm e& \\ \iff x^2 + x + 1 &< 1& \\ \iff x^2+ x &< 0& \\ \iff x(x+1) &< 0.& \end{aligned}\] Il s'agit d'une fonction polynôme de degré 2, de coefficient principal positif, et dont les racines évidentes sont $-1$ et $0$.
On a donc $S = ]-1;0[$.

L'expression $x^2 - 2x$ doit être strictement positive. Il s'agit d'un polynôme de degré 2, à coefficient principal positif, et dont les racines sont $0$ et $2$. On a donc \[D = ]-\infty;0[\cup]2;+\infty[.\] Alors : \[\begin{aligned} \ln(x^2 - 2x) &\geqslant 0& \\ \iff x^2 - 2x &\geqslant 1& \\ \iff x^2 - 2x - 1 &\geqslant 0.& \end{aligned}\] Le polynôme obtenu admet pour discriminant \[\Delta = 2^2 +4 = 8 \implies \sqrt{\Delta} = 2\sqrt 2.\] Ce discriminant est strictement positif donc le polynôme admet deux racines: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{2 - 2\sqrt 2} 2 = 1-\sqrt 2.& \\ x_2 &= \frac{2 + 2\sqrt 2}{2} = 1+\sqrt 2.& \end{aligned}\] Le coefficient principal est positif, donc l'expression est strictement positive sur \[\left]-\infty;1-\sqrt 2\right[\cup\left]1+\sqrt 2;+\infty\right[.\] En tenant compte de l'ensemble de définition (qui n'interfère pas ici avec l'ensemble solution), on a alors: \[S = \left]-\infty;1-\sqrt 2\right[\cup \left]2;1+\sqrt 2\right[.\]