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Résoudre dans $\mathbb R$ les équations suivantes:
\[\begin{aligned}
\text{a.}&\quad \mathrm e^{x} = 1;&
\qquad
\text{b.}&\quad \mathrm e^{5x + 1} = \mathrm e^{3x - 2};&
\\
\text{c.}&\quad \mathrm e^{7x - 3} = -1;&
\qquad
\text{d.}&\quad \mathrm e^{x + 3} = \mathrm e;&
\\
\text{e.}&\quad \mathrm e^{2x + 1} - \mathrm e^{x + 4};&
\qquad
\text{f.}&\quad \mathrm e^{x} = 5.&
\end{aligned}\]
Corrigé a.
Corrigé b.
Corrigé c.
Corrigé d.
Corrigé e.
Corrigé f.
$S = \{0\}$. En effet:
\[\mathrm e^{x} = 1 \iff x = 0.\]
$S = \left\{-\dfrac 3 2\right\}$. En effet
\begin{align*}
\mathrm e^{5x + 1} &= \mathrm e^{3x - 2}&
\\ \iff
5x + 1 &= 3x - 2&
\\ \iff
2x &= -3&
\\ \iff
x &= -\frac 3 2.&
\end{align*}
$S = \emptyset$. En effet, une exponentielle ne peut pas être négative.
$S = \{-2\}$. En effet:
\[\begin{aligned}
\mathrm e^{x +3} &= \mathrm e&
\\ \iff
x + 3 &= 1&
\\ \iff
x&= -2.&
\end{aligned}\]
$S = \{3\}$. En effet:
\begin{align*}
\mathrm e^{2x+1} - \mathrm e^{x+4} &= 0&
\\ \iff
\mathrm e^{2x+1} &= \mathrm e^{x+4}&
\\ \iff
2x + 1 &= x + 4&
\\ \iff
x &= 3.&
\end{align*}
$S = \{\ln 5\}$ car
\[\mathrm e^x = 5 \iff x= \ln 5.\]
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