5.09

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Résoudre les inéquations suivantes dans $R_{+}^{*}$ :

a. $\ln (x) < 3$ ;
Corrigé

\begin{aligned} \ln (x) < 3 \\ ⟺ & x < e^{3} \\ S =] 0; e^{3} [. \end{aligned}

b. $2 \ln (x) + 200 > 0$ ;
Corrigé

\begin{aligned} 2 \ln (x) + 200 > 0 \\ ⟺ & \ln (x) > - \frac{200}{2} \\ ⟺ & \ln (x) > - 100 \\ ⟺ & x > e^{- 100} \\ S =] e^{- 100}; + \infty [. \end{aligned}

c. $1 - 2 \ln (x) ⩾ 0$ ;
Corrigé

\begin{aligned} 1 - 2 \ln (x) ⩾ 0 \\ ⟺ & - 2 \ln (x) ⩾ - 1 \\ ⟺ & \ln (x) ⩽ \frac{- 1}{- 2} \\ ⟺ & \ln (x) ⩽ \frac{1}{2} \\ ⟺ & x ⩽ e^{1 / 2} \\ ⟺ & x ⩽ \sqrt{e} \\ S =] 0; \sqrt{e} [. \end{aligned}

d. $2 \ln (x) - 4 \ln (3) < 0$ .
Corrigé

\begin{aligned} 2 \ln (x) - 4 \ln (x) < 0 \\ ⟺ & \ln (x) < \frac{4 \ln (3)}{2} \\ ⟺ & \ln (x) < 2 \ln (3) \\ ⟺ & \ln (x) < \ln (3^{2}) \\ ⟺ & \ln (x) < \ln (9) \\ ⟺ & x < 9 \\ S =] 0; 9 [. \end{aligned}

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code : 341