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Résoudre dans $\mathbb R$ les équations suivantes :
1.
$\mathrm e^{3x}=1$;
Corrigé
On a les équivalences :
\begin{align*}
\mathrm e^{3x} &= 1&
\\ \iff
\mathrm e^{3x} &= \mathrm e^0&
\\ \iff
3x &= 0&
\\ \iff
x &= 0.&
\end{align*}
Donc $S=\{0\}$.
2.
$\mathrm e^{-x+3} = \mathrm e$;
Corrigé
On a les équivalences :
\[\begin{aligned}
\mathrm e^{-x+3} &= \mathrm e&
\\ \iff
\mathrm e^{-x+3} &= \mathrm e^1&
\\ \iff
-x+3 &= 1&
\\ \iff
-x &= -2&
\\ \iff
x &= 2.&
\end{aligned}\]
Donc $S=\{2\}$.
3.
$\mathrm e^{-2x} - \mathrm e^{x+3} = 0$;
Corrigé
On a les équivalences :
\[\begin{aligned}
\mathrm e^{-2x} - \mathrm e^{x+3} &= 0&
\\ \iff
\mathrm e^{-2x} &= \mathrm e^{x+3}&
\\ \iff
-2x &= x + 3&
\\ \iff
-3x &= 3&
\\ \iff
x &= -1.&
\end{aligned}\]
Donc $S=\{-1\}$.
4.
$\ln(x) = 2$.
Corrigé
On a les équivalences :
\[\begin{aligned}
\ln(x) &= 2&
\\ \iff
x &= \mathrm e^2.&
\end{aligned}\]
Donc $S=\left\{\mathrm e^2\right\}$.
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