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Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par :
\[f (x) = x\mathrm{e}^{-x}.\]
1.
L'image $f\left( \ln 2\right)$ de $\ln 2$ par $f$ est égale à :
a.
$\ln 2$;
b.
$-2\ln 2$;
c.
$2\ln 2$;
d.
$\dfrac{1}{2}\ln 2$.
Corrigé
Réponse d. En effet :
\[ f(\ln 2) = \ln 2 \times \mathrm e^{-\ln 2} = \frac{\ln 2}{\mathrm e^{\ln 2}} = \frac{\ln 2} 2 = \frac 1 2 \ln 2.\]
2.
$f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. Alors,
pour tout nombre réel $x$, on a :
a.
$f'(x) = \mathrm {e}^{-x}$;
b.
$f'(x) = - \mathrm {e}^{-x}$;
c.
$f'(x) = (1-x) \mathrm {e}^{-x}$;
d.
$f'(x) = (1+x)\mathrm {e}^{-x}$.
Corrigé
Réponse c. $f=uv$ avec $u(x)-x$ et $v(x) = \mathrm e^{-x}$ donc $u'(x)=1$
et $v'(x) = -1\mathrm e^{-x}$.
Alors, puisque $f'=u'v+uv'$ :
\[f'(x) = 1\mathrm e^{-x} + x(-\mathrm e^{-x}) = \mathrm e^{-x} -x\mathrm e^{-x} = (1-x)\mathrm e^{-x}.\]
3.
L'équation réduite de la tangente à la courbe de la fonction $f$ au point d'abscisse 0 est :
a.
$y=2x$;
b.
$y=x-1$;
c.
$y=x$;
d.
$y=2x-1$.
Corrigé
Réponse c. On a :
\[ f(0) = 0\mathrm e^{-0} = 0\]
et
\[f'(0) = (1-0)\mathrm e^{-0} = 1 \times 1 = 1.\]
L'équation de la tangente en 0 est donc :
\begin{align*}
y &= f'(0) (x-0) + f(0)&\\
\iff y&=1x.&
\end{align*}
4.
La fonction $f$ est :
a.
concave sur $[0;~1]$;
b.
concave sur $[0;~+\infty[$;
c.
convexe sur $[0;+\infty[$;
d.
convexe sur $[0;1]$
Corrigé
Réponse a. Pour tout $x\in\mathbb R$, on a :
\[f''(x) = -1\mathrm e^{-x} + (1-x)(-\mathrm e^{-x}) = (x-2)\mathrm e^{-x}.\]
Puisque, pour tout réel $x$, $\mathrm e^{-x}>0$, $f''(x)$ a le même signe que $(x-2)$.
Elle est donc négative sur $[0;1]$, ce qui signifie que $f$ est concave sur cet intervalle.
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