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Dans l'espace muni d'un repère $\left(O;\vec i,\vec j,\vec k\right)$, on donne les points
\[A(2\;;\;1\;;\;-3),\quad B(0\;;\;2\;;\;4),\quad C(-4\;;\;4\;;\;18).\]
-
Calculer les coordonnées du milieu $M$ du segment $[AB]$.
Corrigé
$M$ a pour coordonnées $\left(1\;;\;\dfrac 3 2\;;\;\dfrac 1 2\right)$ car
\[\begin{aligned}
x_M &= \frac{x_A + x_B} 2 = \frac{2+0} 2 = 1;&\\
y_M &= \frac{y_A + y_B} 2 = \frac{1+2} 2 = \frac 3 2;&\\
z_M &=\frac{z_A + z_B} 2= \frac{-3+4} 2 = \frac 1 2.&
\end{aligned}\]
-
Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
Corrigé
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}-2\\1\\7\end{pmatrix}$ car :
\[\begin{aligned}
x_B - x_A &= 0 - 2 = -2&\\
y_B - y_A &= 2 - 1 = 1&\\
z_B - z_A &= 4 +3 = 7&
\end{aligned}\]
-
Soit $D(1\;;\;-2\;;\;-1)$. Calculer
les coordonnées du point $E$ tel que
$ABDE$ soit un parallélogramme.
Corrigé
$ABDE$ sera un parallélogramme ssi $\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{AB}$ donc ssi:
\[\begin{aligned}
&\begin{cases}
x_D - x_E = -2\\y_D - y_E = 1\\z_D - z_E = 7
\end{cases}&
\\ \iff
&\begin{cases}
1 - x_E = -2\\-2-y_E = 1\\-1-z_E = 7
\end{cases}&
\\ \iff
&\begin{cases}
x_E = 3\\y_E = -3\\z_E = -8
\end{cases}&
\end{aligned}\]
Donc $E(3\;;\;-3\;;\;-8)$.
-
Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
Corrigé
$A$, $B$ et $C$ seront alignés ssi les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
$\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}-6\\3\\21\end{pmatrix}$ car
\[\begin{aligned}
x_C - x_A &= -4 - 2 = -6&\\
y_C - y_A &= 4 - 1 = 3&\\
z_C - z_A &= 18 + 3 = 21&\\
\end{aligned}\]
$\dfrac{-6}{-2} = \dfrac{3}{1} = \dfrac{21}{7} = 3$,
donc $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}$.
Ces vecteurs sont colinéaires, donc les
points sont alignés.
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