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Dans l'espace rapporté à un repère, on donne les vecteurs
\[\vec u(3;1;2),\quad \vec v(3;-2;4) \quad\text{et}\quad \vec w(-3;8;-8).\]
Justifier que ces trois vecteurs sont coplanaires.
Corrigé
Il existera deux réels $x$ et $y$ tels que
\[\vec w = x\vec u + y\vec v\]
si et seulement si
\begin{align*}
&\begin{cases}-3 = 3x + 3y\\8 = x - 2y\\-8 = 2x + 4y \end{cases}&
\\ \iff
&\begin{cases}-3 = 3({\color{Red}8+2y}) + 3y\\x = {\color{Red}8 + 2y}\\-8 = 2({\color{Red}8+2y})+4y\end{cases}&
\\ \iff
&\begin{cases}-3 = 24 + 9y\\x = 8+2y\\-8=16+8y\end{cases}&
\\ \iff
&\begin{cases}9y = -27\\x = 8 + 2y\\8y = -24\end{cases}&
\\ \iff
&\begin{cases}
y = \frac{-27}{9} ={\color{Red}-3}\\
x = 8 + 2\times ({\color{Red}-3})\\
y= \frac{-24}{8} ={\color{Red}-3}\end{cases}&
\\ \iff
&\begin{cases}y = -3\\x = 2\end{cases}.&
\end{align*}
Puisque
\[\vec w = 2\vec u - 3\vec v,\]
les vecteurs $\vec w$, $\vec u$ et $\vec v$ sont bien coplanaires.
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