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Dans l'espace muni d'un repère $(O;\vec i,\vec j,\vec k)$, on considère les vecteurs
\[\vec u\begin{pmatrix}1\\4\\-3\end{pmatrix},
\quad
\vec v\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}
\quad\text{et}\quad
\vec w\begin{pmatrix}2\\5\\-3\end{pmatrix}.\]
-
Calculer les coordonnées du vecteur
\[\vec u + 3\vec v - 2\vec w.\]
Corrigé
Le vecteur $\vec u +3\vec v -2\vec w$ a pour coordonnées:
\begin{align*}
&\begin{pmatrix}1\\4\\-3\end{pmatrix}
+3\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}
-2\begin{pmatrix}2\\5\\-3\end{pmatrix}
&
\\
&=
\begin{pmatrix}1\\4\\-3\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}3\\6\\-3\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}4\\10\\-6\end{pmatrix}
&
\\
&=
\begin{pmatrix}1+3-4\\4+6-10\\-3-3+6\end{pmatrix}
&
\\
&=
\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}
&
\end{align*}
-
Les vecteurs $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ sont-ils coplanaires ?
Corrigé
On en déduit que
\[\vec u + 3\vec v - 2\vec w = \vec 0 \iff \vec u = -3\vec v + 2\vec w.\]
Donc $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ sont coplanaires.
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