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Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé, on donne les points
\[\mathrm A(2;3;4),\quad \mathrm B(3;5;7)\quad\text{et}\quad \mathrm C(1;2;3).\]
Ces points sont-ils alignés ?
Corrigé
Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
\[\overrightarrow{AB}:
\begin{pmatrix}3 - 2\\5 - 3\\7 - 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}
\quad\text{et}\quad
\overrightarrow{AC} :
\begin{pmatrix}1 - 2\\2 - 3\\3 - 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\-1\\-1\end{pmatrix}.\]
Alors :
\[\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB} \iff
\begin{cases} k = -1 \\k = -\frac 1 2\\ k=-\frac 1 3\end{cases}\ \text{impossible !}\]
Donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires,
ce qui entraîne que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.