retour
Dans l'espace muni d'un repère $(O;\vec i,\vec j,\vec k)$ on considère les points
\[\begin{aligned}
&A(1\;;\;0,5\;;\;2),&
\
&B(0\;;\;2\;;\;0,5),&
\
&C(3\;;\;2,5\;;\;7),&
\\
&D(3\;;\;-2,5\;;\;1),&
\
&E(1\;;\;0,5\;;\;4).&
\end{aligned}\]
-
Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$.
Corrigé
Le point $I$ a pour coordonnées :
\[\left(\dfrac{1+0}2\;;\;\dfrac{0,5+2}{2}\;;\; \dfrac{2+0,5}2\right)
=
\left(0,5\ ;\ 1,25\ ;\ 1,25\right).\]
-
Calculer les coordonnées du vecteur
$\overrightarrow{AB}$.
Corrigé
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées
\[\begin{pmatrix}0-1\\2-0,5\\0,5 - 2\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}-1\\1,5\\-1,5\end{pmatrix}.\]
-
Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
Corrigé
Le vecteur $\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées
\[\begin{pmatrix}3-1\\2,5 - 0,5\\7 - 2\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}2\\2\\5\end{pmatrix}.\]
S'il existait un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ alors on aurait à la fois
\[k = \dfrac{2}{-1} = -2\ \text{et}\ k = \dfrac{2}{1,5} =\dfrac 4 3.\]
C'est impossible, donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas
colinéaires, donc les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
-
Les points $A$, $B$, $D$ et $E$ sont-ils coplanaires ?
Corrigé
Si l'on calcule aussi les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$ on a finalement
\[\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}2\\-3\\-1\end{pmatrix}
,\quad
\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}
\quad\text{et}\quad
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\1,5\\-1,5\end{pmatrix}
\]
Soient $x$ et $y$ deux réels
\begin{align*}
&x\overrightarrow{AD}+y\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB}&
\\ \iff
&\begin{cases}2x = -1\\-3x = 1,5\\-x+2y=-1,5\end{cases}&
\\ \iff
&\begin{cases}x= -\frac 1 2\\x=-\frac 1 2\\\frac 1 2 + 2y = -\frac 3 2\end{cases}&
\\ \iff
&\begin{cases} x= -\frac 1 2\\2y = -2\end{cases}&
\\ \iff
&\begin{cases} x= -\frac 1 2\\y = -1\end{cases}&
\end{align*}
Puisque
\[\overrightarrow{AB}=-\dfrac 1 2\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AE},\]
ces vecteurs sont coplanaires
donc les points $A$, $B$, $D$ et $E$ sont aussi coplanaires.
retour