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Dans l'espace muni d'un repère $(O;\vec i,\vec j,\vec k)$ on considère les points \[\begin{aligned} &A(1\;;\;0,5\;;\;2),& \ &B(0\;;\;2\;;\;0,5),& \ &C(3\;;\;2,5\;;\;7),& \\ &D(3\;;\;-2,5\;;\;1),& \ &E(1\;;\;0,5\;;\;4).& \end{aligned}\]

1. Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$.
   Corrigé
   Le point $I$ a pour coordonnées : \[\left(\dfrac{1+0}2\;;\;\dfrac{0,5+2}{2}\;;\; \dfrac{2+0,5}2\right) = \left(0,5\ ;\ 1,25\ ;\ 1,25\right).\]
2. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
   Corrigé
   Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées \[\begin{pmatrix}0-1\\2-0,5\\0,5 - 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\1,5\\-1,5\end{pmatrix}.\]
3. Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
   Corrigé
   Le vecteur $\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées \[\begin{pmatrix}3-1\\2,5 - 0,5\\7 - 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\2\\5\end{pmatrix}.\] S'il existait un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ alors on aurait à la fois
   \[k = \dfrac{2}{-1} = -2\ \text{et}\ k = \dfrac{2}{1,5} =\dfrac 4 3.\] C'est impossible, donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires, donc les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
4. Les points $A$, $B$, $D$ et $E$ sont-ils coplanaires ?
   Corrigé
   Si l'on calcule aussi les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$ on a finalement \[\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}2\\-3\\-1\end{pmatrix} ,\quad \overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix} \quad\text{et}\quad \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\1,5\\-1,5\end{pmatrix} \] Soient $x$ et $y$ deux réels \begin{align*} &x\overrightarrow{AD}+y\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB}& \\ \iff &\begin{cases}2x = -1\\-3x = 1,5\\-x+2y=-1,5\end{cases}& \\ \iff &\begin{cases}x= -\frac 1 2\\x=-\frac 1 2\\\frac 1 2 + 2y = -\frac 3 2\end{cases}& \\ \iff &\begin{cases} x= -\frac 1 2\\2y = -2\end{cases}& \\ \iff &\begin{cases} x= -\frac 1 2\\y = -1\end{cases}& \end{align*} Puisque \[\overrightarrow{AB}=-\dfrac 1 2\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AE},\] ces vecteurs sont coplanaires donc les points $A$, $B$, $D$ et $E$ sont aussi coplanaires.

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code : 313